(1) предлагается представить в виде суммы ее вещественной и мнимой компонент и(г, z) = v(r, z) + / w (г, z), и = Re(w), w = Im(w). Тогда (1) распадается на систему

= - - (hir, z) - l)w, = -L V + (hir, z) - 1)0.

2*0 2 2ko 2 55-

Заменяя все производные конечными разностями, получаем две условно-устойчивые ЯКРС. Условие устойчивости имеет вид

2\hrlKhl\\khr{n -\)12\ < 1.

Авторы отмечают такие достоинства ЯКРС, как точность, эффективность (особенно для векторных ЭВМ), простота реализации, возможность задания произвольных граничных условий, меньшие требования к памяти и быстродействию ЭВМ. В [112] приводятся ЯКРС, в которые для устойчивости введено искусственное поглощение [16], однако эти схемы записаны не для ПУ, а для уравнения Шредингера.

Для конечно-разностных схем важное значение имеют вопросы устойчивости. Мак-Даниел [118] применила метод энергетических неравенств, разработанный Самарским и Гулиным, для анализа устойчивости неявной конечно-разностной схемы (НКРС) в случае зависимости коэффициента преломления среды от дистанции. В этой ситуации традиционные методы анализа устойчивости неприменимы.

Метод энергетических неравенств заключается в разложении вектора поля wno собственным векторам :

и = Ws, (5.6)

где AVs = jt>5, г А - тридиагональная матрица из матричного уравнения НКРС

{I-iA)U = (/+ iA)u. (5.7)

После ряда преобразований получаем

\\и\\ < $Wsni%\ = (5.8)

для всех qui (звездочкой обозначено комплексное сопряжение). Для ЙКРС, таким образом, норма конечна для всех / для ограниченных начальных данных.

Пригодность этого метода показана на примере решения ПУ в среде со скачком плотности по глубине и произвольно меняющимися коэффициентами преломления выще и ниже скачка (границы раздела сред). Для наклонной границы этот метод применить не удалось. Для достижения возможно большей точности Мак-Даниел предлагает в окрестности источника использовать меньший шаг по дистанции, чем вдали от него, и выбирать такое ко у величина которого близка собственным значениям основных распространяющихся мод.

В уравнение (5.2) входит объемный коэффициент поглощения р (г, z). Уравнение (5.3) получается из (5.1) для постоянного по трассе (z), мало отличающегося от единицы. В уравнении (5.4) v(z) = (n(z) - 1) и коэффициент при uz не зависит от выбора Cq. Уравнение (5.5) учитывает эффекты, вносимые кривизной Земли. 31

в этом уравнении z z - z z-r \1R,

u{r, R) = ф(г\ r)exp {ikor[i - гЗЯ)/Я]} . (5.9)

Уравнение (5.6) дает лучшее совпадение с точным решением по фазе. Уравнения (5.2) -(5.6) не нашли достаточного развития и применения.

Уравнение (5.7), как подчеркивают Тапперт и Ли [119], удалось решить только с помощью НКРС. При использовании этого уравнения нет необходимости в тщательном выборе [116]. Применение этого уравнения для задач с быстрым изменением коэффициента преломления по трассе показало его преимущество перед стандартным ПУ, приводя к незначительному увеличению времени счета, так как приходится вычислять конечные разности для производных коэффициента преломления.

Уравнение (5.8) разработано Ли и Мак-Даниел для того, чтобы включить в рассмотрение среды с различной плотностью. В этом уравнении uln - поле на границе; + i и и[п i - поле в точках над и под границей; йгу = (ко12)(п(г, z) - 1); bj = Ыко; hz - шаг сетки по глубине. Это уравнение выписано для использования совместно с IFD. В [112] дан общий вид этого уравнения, допускающий наклон границы.

Уравнение (5.9) также представляет возможность рассматривать случаи с переменной плотностью. Кригсманн [120], разработавший это уравнение, предложил для цего простую НКРС, имеющую второй порядок точности по глубине и первый порядок точности по дистанции (что, вообще говоря, является недостаточным). В этом уравнении h{r, z) = 1 + б/(г, z), а г и Z - безразмерные координаты.

Большой интерес представляют работы, связанные с увеличением допустимого диапазона вертикальных углов для ПУ. В работе [121] вводится широкоугольное ПУ 10 (см. табл. 1), которое с ошибкой в фазовой скорости не более 0,01% описывает распространение мод, имеющих угол скольжения до 50°. Оценки, данные в [112] (для другого критерия точности) , свидетельствуют о хорошем совпадении с уравнением Гельмгольца для углов до 23°. Грин разработал высокоточную НКРС с использованием метода Нумерова, которая имеет четвертый порядок точности по Глубине и легко адаптируется к стандартному ПУ. Выбором = О, р = Й (у Грина

Главная идея получения широкоугольных ПУ заключается в дробно-рациональной аппроксимации оператора \/1 + С , где I = ( - 1) +

+ - - . Еще одно уравнение, являющееся разновидностью уравне-ко bz

ния 10, включающей смешанные производные третьего порядка, предложено Мэри и Ли [112]. Для него разработана НКРС.

Уравнение 11 (см. табл. 1) - это высокочастотное ПУ или HYPER, которое получается введением лучевых координат. Подробности можно найти в [111].

Уравнения 72, 13 и 14 являются трехмерными аналогами уравнений 2, 1 VI 10 соответственно (см. табл. 1). Трехмерные уравнения описывают полную пространственную картину распределения звука. Объем вычислений для этих уравнений особенно велик, и проблема создания высокоэффективных программ и вычислительных схем стоит чрезвычайно остро. Байер и Перкинс [123] предложили использовать вместо полной трех-32

Таблица 2

мерной задачи набор из А/ двумерных и показали, что в ряде случаев можно добиться хорошего соответствия между результатами при значительной экономии времени. Однако они использовали трехмерное БПФ, которое очень эффективно.

Условия проявления трехмерных свойств и критерии целесообразности применения трехмерных алгоритмов подробно обсуждали Зигманн и Ли [124]. Они подчеркнули высокую точность НКРС и сообщили о разработках ЯКРС с поглощением.

Мэри [125] представил уравнение 14 в виде уравнения со смешанными производными третьего порядка и предложил НКРС для его решения. Однако метод Мэри слишком громоздкий и предусматривает операции с матрицами, элементами которых являются другие матрицы. Кроме того, для устойчивости его схемы необходимо медленное изменение h{r, z) по дистанции и соответствующий выбор шага Л,..

В статье [126] анализируется несколько условно-устойчивых ЯКРС для уравнений шредингеровского типа (в том числе и трехмерного параболического) и проводятся сравнения по точности и скорости. Трехслойная ЯКРС работает в трехмерном случае почти в 11 раз быстрее, чем НКРС при большей точности вычислений.

Кроме работ, посвященных созданию эффективных численных алгоритмов [130-133], появляются публикации по проблемам разработки специализированных ЭВМ. Шульц [127] обсуждает выбор архитектуры многопроцессорных систем в зависимости от выбора алгоритма решения уравнения 13 (см. табл. 1). Он показал, что для кольцевой архитектуры и ЯКРС быстродействие почти неограниченно растет с увеличением числа процессов, в то время как для БПФ и архитектуры с общей шиной быстродействие лимитируется пропускной способностью канала процессора.

Для решения задач, в которых интерес представляет временная структура поля, Мак-Дональд, Куперманн [111] и Марфи [129] предложили для различных ПУ с зависимостью от времени уравнения 75 и 16.

Последним достижением в расширении диапазона допустимых углов является создание очень широкоугольного ПУ [128]) - уравнение 77, которое является более общим случаем уравнений 1 и 10 (см. табл. 2).

Для решения уравнения 77 (см. табл. 1) применяется НКРС, устойчивая при

(4/khl)cos[(n/2M)(m- й)] 6 ± 2 v, где m = 1, 2 Л/. Интересно, что это условие сводится к условию khz 2.

3. Зак. 831 33