Таблица 1

1 Стандартное ПУ

2 ПУ с поглощением Упрощенное ПУ

Независимое от Cq ПУ

ПУ с учетом кривизны земли

ПУ с коррекцией фазы

ПУ с рефракцией по дистанции

ПУ для горизонтальных границ

9 ПУ с переменной плотностью

г = -у W ) - 1 + ir, )] + uz Ur= ikiniz) - 1)и + Uzz

г = [п (г, z)-l- 2z/R] и + и г=Ч1г(-о) + zz

+ ц{уУгп -l-ln) ( m - m - l)) ifu /Vp 9

+ -I--

1 Э

2 bzLp bzlp bz

TannepT To же

Палмер Тапперт, Ли

Мак-Даниел Кригсман

1974 1974 1977 1977 1977 1976 1983

1982 1983

10 Широкоугольное ПУ

11 Высокочастотное ПУ

12 Трехмерное ПУ с поглощением

13 Трехмерное узкоугольное ПУ

14 Трехмерное широкоугольное ПУ

15 Нелинейное ПУ

1/. v P[h\r,z)-\klblbz\

= V/o - + ik v{r, р)и

W;. = Уггк [hir, в, z) - l]u + u + 7

16 ПУ с временной зависимостью

17 Очень широкоугольное ПУ

l + qAh4r.e,z) - l + k-bVbz] +д(кгУдУъв

iblbt+cdlbr)R= - (c,R+V2pcR)-or

I ,y dZ

Тапперт, Ли 1981

Грин, Гилберт, Ли 1983

Тапперт 1977

Тапперт и др. 1981

Байер, Перкинс 1983

Ли, Мэри, Сигман 1984

Мак-Дональд, 1984 Куперман

Марфи 1984

огибающая быстроосщ1Ллирующей функции, z - глубина, г - дистанция, 0 - азимутальный угол.

Перейдем теперь к рассмотрению каждого уравнения, давая для некоторых из них описание существующих численных алгоритмов.

Первым по времени создания и изученности стоит стандартное ПУ [111]. Для него разработано несколько численных алгоритмов split-step Fourier, ODE, IFD. Два последних связаны с использованием конечных разностей. Первым из них был предложен метод линий, или ODE [ИЗ]. Этот метод предусматривает дискретизацию в вертикальном направлении и решение системы обьжновенных дифференциальных уравнений. В [114] был предложен метод, позволяющий использовать переменный шаг по глубине, что существенно упрощает выбор Л,.. Применение разработанной в [114] техники допускает нелинейное изменение глубины по трассе. Последние успехи в развитии явного решения матричного уравнения ODE описаны в [112].

Неявный конечно-разностный метод (IFD) состоит в использовании схемы Кранка-Никольсона [112, 115]

[1 - hhriai;: + blr D)K- = [1 + Ahrialr, + bmDVum > (5.1)

где / / /

am = -ТГ (h4lhr,mhz) - 1), bm - - D----(5.2)

Эта схема дает точность аппроксимации до 0(hz hj) и безусловно устойчива. В монографии [112] и ряде статей подробно изучаются различные аспекты использования этой схемы. В качестве начального значения поля (г = 0) предлагается использовать результаты, полученные по методу нормальных волн, быстрой полевой программе или моделировать его гауссовой функцией

1т(мо) = О,

где Gpv - ширина пучка по уровню 3 дБ; = y/IJW/Gi; Wa - средний волновой номер. Описан способ включения условия абсолютно жесткой нижней границы в вычислительную схему. Кроме того, в [112] детально рассмотрен общий случай нерегулярной границы раздела двух сред с разными р и c(r,z).

В [116] дается подробный анализ для оптимального выбора величины ко, в [112] - ко и hx- Пирце, опираясь на физические соображения, делает вьюод о том, что в качестве ко надо брать взвешенное среднее

,2 Iiw/c)p-\u\dz-fp-\u,\dz

J74iAz--- -

Мак-Даниел и Ли [112] приходят к похожему результату из условия минимума ошибки аппроксимации. Из этого же условия следует соотношение для выбора hr, h= hl/kl v, где v - некоторый коэффициент.

В последнее время увеличивается интерес к использованию для решения уравнения 1 (см. табл. 1) и других ПУ явных конечно-разностных схем (ЯКРС). В статье [117] предложена одна из таких схем. Функцию u(r,z) из 30