Введем независимые переменныер nq

А: = чх=ч/ (3.7)

Имеем

Ир+ И/=0. (3,8)

Полагая

р i-q -к q - р

приходим к гиперболическому уравнению Гельмгольца или уравнению Клейна-Гордона

%-и/ + и/=а (ЗЛО)

Оно ковариантно к преобразованию Лоренца

= (Г+Кг?), r? = fl(F5 + r?), a = {\~V)-\ V<\. (ЗЛ1)

Рассмотрим плоскую волну

w = exp(/A:x) (ЗЛ2)

или синусоидальную зависимость от произведения кх

u = smkx. (ЗЛЗ)

Для Wi = X и, W2(к, х) = - и или для их линейной комбинации W =

= CiWi + С2 W2 находим уравнение (3.6). При гармонической зависимости от времени и = exp(-fcor), и = sin(a;r) для величин = Ги, W2 = = co~w находим гиперболическое уравнение

И/о;+ГсоИ/=0. (3.14)

В этом случае снова встречается произведение частоты на время. В главах Vni, IX это произведение оказалось полезным при рассмотрении частотных и временных соотношений на движущихся телах.

4. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Рассмотрим уравнение Клейна-Гордона

Wxx-yym = 0. (4Л)

Пусть W(0,y) = ip(y), Wx(0,y) = ф(у), где р(у), ф(у) имеют представление в виде интегралов Фурье

0)= 1 m)exip(ib)dl ф(у)= 1 РД)ехрО)с11 (4.2)

оо оо

Находим

(4.3)

F()/Vl±-Fi(?)

, X exp(/ + ixVF±) +-?=i=-- exp(/ -

-ixVF±)

При i = ± m подьштегральная функция не имеет точки ветвления, так как при изменении знака у V? ±m, она не меняет вида. Параметр т считаем положительным, вещественным. Характеристики гиперболического уравнения являются семейством прямых х = ±у -У const. Поэтому если (у), i/O) - финитные функции с носителем в виде интервала [а, Ь], то их трансформанты Фурье F(), Fi(l) - целые функции с ограниченным ростом в комплексной плоскости. Как показано в [53], W{x, у) = О прих >> + и при X < -у + Ь. Поэтому скорость распространения любого финитного возмущения-сигнала вдоль оси X и вдоль оси у, конечно, не может превышать единицы, как это и следует из самого вида уравнения (4.1). Знак ± т при этом не играет никакой роли.

Решение представляет сумму двух волн ехр (i ± ix\/ ±т) с амплитудами, которые уже не являются целыми функциями параметра Они имеют точку ветвления при = ±т. Поэтому по отдельности решения Wi и W2 даже для финитных ф не обращаются тождественно в ноль вне характеристик. Обращается в ноль их сумма.

Исследуем скорость распространения волн ехр (iky ± ixco) вдоль оси у при условии, что А: = I, со = ±т, т.е.

со = yjk ±т, (4.4)

тем самым мы считаем координату х временем, г у - пространственной координатой.

Закон дисперсии показывает, что групповая скорость каждой группы волн для Wx и W2 равна

(ico к

Если при < 1, то при -т имеем Упр 1. Группа волн, образую-

щих решение Wi и W2, распространяется со скоростью > 1. Поэтому они должны выйти за характеристики х >,v + их< + Ь, что невозможно для группы волн, описываемыми финитными функциями. Но в том то и дело, что Wi и W2 - функции, не равные тождественно нулю на всей оси. Если {риф выбраны так, что Wi и W2 имеют максимумы на оси у, то с ростом X эти максимумы будут перемещаться со скоростью > 1 (т.е. для реального уравнения Клейна-Гордона со скоростью больше скорости света). Тем не менее сумма Wi и W2 вне характеристики будет обращаться в ноль.

Результат vp > 1 бьш получен в предположении, что в (4.1) х - время, а перед т выбран знак минус. Совершенно тот же вывод получается, если считать, что у - временная координата, а перед т стоит знак плюс.

Интегралы, описывающие решения Wi, W2. можно вычислить. Но еще проще выполнить вычисления на сетке. Введя на плоскости х, у сетку с шагом hX h, приходим к разностному аналогу уравнения Клейна-Гордона

u(xh,y)\-u(x -h,y)-u{x,y -h) -и(х,у - h)±mhu (х,у) =0.(4.6)

Схема (4.6) пятиточечная, трехслойная. Сразу видно, что возмущение, заданное в точках л: = О, = 0; х = h, у =0, распространяется внутри угла, образованного характеристиками у = ±х. Считая х временной координатой, г у - пространственной, рассмотрим распространение волны ехр (iky + ixco)

в такой сеточной среде. Имеем характеристическое уравнение

2cosa;/? - 2cos/z ±mh = 0. (4.7)

Откуда

со = /г arccos

coskh +

(4.8)

Следовательно,

dco sin kh

При Л -> О -> Fpp из (4.5). Заметим также, что Крр -> > прпк = т(-т). Аналогично Крр -> > при к = /z arccos(l ±rnhl2). Конечно, поведени Кгр в зависимости от к h,m более сложное, чем Крр (к, т). Однако положение облегчается тем обстоятельством, что с уравнением (4.6) в сеточной области можно проводить различные вычислительные эксперименты, задаваясь начальными условиями в виде финитных сеточных функций, имеющих максимумы, и следя, с какой групповой скоростью эти максимумы перемещаются.