сложным. Предполагая, что зависимость потенциала Ф от z определяется в виде множителя exp(/Jz): Ф = ехр(/,zXприходим к задаче ШЛ

xx-yy--(k-nf=0, ФуУгО, (2.2)

Собственные функции (л:, у) соответствуют собственным значениям . Пусть \i, Фп - собственные значения и собственные функции двумерной задачи ШЛ

Фхх-Фуу-кфХф, xyeD, ф/г=0. (2,3)

Тогда, полагая Фп имеем равенство

Кп = %12тп-?Ч1> (2.4)

откуда

= {-к ± у/к + (1 - К) (i-PP. (2.5)

Пусть 3 < L Тогда вещественные, положительные и отрицательные значения J соответствуют тем величинам Л , для которых выполняется неравенство

Х>-Ч/(\-Р)(Х<к). (2.6)

Вводя сетку на плоскости ху с ячейкой 1х 1у, имеем для разностной задачи ШЛ оценку

-4/;2 - 4/; + А: < > < А: (2.7)

Выбирая параметры /д., 1у такими, чтобы выполнялось неравенство

-Ai; - АГу >-аЧ1(1 - /2) (< 1), (2.8)

приходим к задаче с вещественными величинами (/), характеризующими поле Ф = 2д (/?(1)(х, >)ехр(/25)) незатухающих нормальных волн в волноводе с амплитудами а, которые зависят от конкретного вида задачи (источник в волноводе, излучение в полуволновод, источник на бесконечности и т. п.).

Рассмотрим пример, когда D = X Ну - прямоугольное сечение, а на границах волновода нормальная производная Ф обращается в нуль.

/ппу\ /т7гу\ /V /m-nV

Тогда пт(х. у) = cosf- jcosf - IXnm = ( -I I - I Согласно

(2.5) определим m- Ддя разностной задачи имеем

Л(0 =k- 41- ш 1 - 4/- sin ). (2.9)

\ 1Нх) \1Ну }

Легко найти такие 1х, 1у, при которых все будут вещественными.

С увеличением числа Маха 3 величины x,i изменяются согласно (2,6). При 3 -> 1 - О можно брать /д., 1у близкими к нулю. Когда в волноводе имеется сверхзвуковой поток (3 > 1), идущий в положительном направлении оси Z, то нормальные волны распространяются тоже только в этом направлении. Волны от источника звука находятся внутри конуса Маха. Заметим, что при 3 > 1 уравнение (2Л) становится вообще гиперболическим по Z, а следовательно, для него начальная задача является корректно поставленной задачей.

Рассмотрим уравнение

pVz2ikV,Vyy==0, (2.10)

В полосе О < > < 7г, -< л: < оо введем сетку с шагом / по > Л7 = я и с шагом h по X, Имеем следующее характеристическое уравнение для ЯС:

4 . п1

- 8ШХЛ--sm -=0. Величины х = 1, 2,N) будут вещественными при условии

U/ kh)

<1 +

21,2

Откуда для устойчивости должно выполняться неравенство

kh<kl

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Сразу видно различие между тремя случаями.

1.р = 0; уравнение (2.10) параболическое. Для ЯС

kh<-.

2. р = 1; уравнение (2.10) эллиптическое, ПУГ. Для ЯС

kl > 2, kh<kly/--1.

(2.14) (2.15)

3.р = -1; уравнение (2.10) гиперболическое. Для ЯС kh<kH-+ 1-

(2.16)

Видно, что в случае гиперболического уравнения шаг / может быть любым, а шаг h - выбираться согласно (2,16).

Если теперь записать уравнение (2

в виде

(1-/3)- +2ik&-+-+k

(2.17)

то можно перейти к его разностному аналогу и для ЯС к характеристическому уравнению

smXnft=a + cosx /i, (2.18)

2t)3

(1 -/3=*) + *: -

(2.19)

При > 1 всегда, т. е. для любых значений шага I, можно подобрать такой шаг h, чтобы выполнялось неравенство < 1 + и корни уравнения (2,18) были вещественными.

3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Одномерное волновое уравнение является наиболее простым уравнением гиперболического типа. В работах [53, 54] было исследовано гиперболическое уравнение Гельмгольца (уравнение Клейна-Гордона). Оно возникало при переходе к мнимой координате (х ix) в обычном эллиптическом УГ. Кроме того, гиперболическое УГ возникает при рассмотрении частотно-пространственных зависимостей поля в волноводе и в ряде других случаев. Для всех подобных гиперболических уравнений возможна группа преобразований Лоренца. В случае же эллиптических уравнений эта группа соответствует инвариантному преобразованию в пространстве Мин-ковского, тоже представляющему большой интерес в физических задачах.

Наиболее интересно проследить все возможности преобразования координат по формулам Лоренца на примере простой волноводной задачи. Рассмотрим решение уравнения Гельмгольца + + = О для волновода л: > О, О < тт. Оно имеет вид

и(х,у)=1. sSn{ny)Qxp{ix\/k - п), (3.1)

/1=1

Перейдем к комплексному пространству: х -> ix. Этот прием бьш использован при численном решении различных волноводных задач, когда решение находилось в комплексной области переменных х, у, а затем проектировалось в вещественную область [53, 54]. Имеем следующее гиперболическое уравнение Гельмгольца:

-Uxx + Uyy + ки = 0. (3.2)

Возьмем его частное решение

w(x,3;)=2 йп sm{ny) ехр(-х yjk -п). (3J)

Воспользуемся заменой

x = a{xVy\ y = a(Vxyl (3.4)

где а = (I - V)- при V <l,a = (V - l)- при V > \. При такой замене мы перешли к системе косоугольных координат х \ у\ широко используемых в задачах дозвуковой и сверхзвуковой аэрогидродинамики [76]. Таким образом, использование гиперболического уравнения Гельмгольца (3.2) и преобразований Лоренца (3.4) позволяет рассмотреть волноводные задачи в косоугольной системе координат.

Гиперболическое уравнение Гельмгольца возникает также при исследовании пространственно-частотных зависимостей поля в волноводе. Рассмотрим функцию

W{x,y, k) = (l/x)i: sm{ny)Qxp{ixyJk - п) = х-и{х,у), (3,5) =1

где и{Ху у) - решение (5.1). Дифференцируя по л: и по к, находим уравнение

WjxkxWO. (36)