Пусть Znp движется по замкнутому циклу. Тогда

ло= tv, ио= tVx (4.2)

Поскольку = 7 = (1 - vls)/(l + v/s),

= ![1+ i;/3(l- ]/[! -i;(l-/3)]U. (4.3)

Скорость звука не вошла в окончательную формулу (4.3). Выше (см. ф-лу (10.20) в гл. Vin) при обмене в анизотропной среде электромагнит-

ным сигналом между А, Z п В был получен результат = Тв л/ l-jSu/ V1 -v. Обе формулы зависят от v.

Поскольку P=l/ci>l (P = c/ci, (?i < с), то при v=l/P имеем (д/б =0. При и = 1/(]3-1) (]3>2 - сильная анизотропия) из (4.3) находим г/г--оо. При 13= 1+5, 5 < 1 = г(1 - 5у).

Согласно оценке свет в системе с Солнцем распространяется медленнее, чем в отсутствие солнечного гравитационного поля. Этот эффект был подтвержден экспериментально с помощью радара. Имеем

Ск--= с(1- Kg/R), (4.4)

где rg =2GM/c - так называемый гравитационный радиус, где G - постоянная тяготения, М - масса тела, г - расстояние от центра Солнца. Для Солнца rg = 3 км. Вблизи поверхности Солнца (г = 1 - 10 км) rg/r - 5 . 10- Следовательно, (5 = с/с = 1 + 5 10- 13 = 1 + 10 Однако вблизи экзотических объектов типа черных дыр Ск может сильно отличаться от с.

УтиямаР. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1979. С. 202. 232

Глава X

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Красивую выстраданную формулу нельзя продать ни в музей, ни в частную коллекцию, а детективный роман о поиске ее не разойдется миллионным тиражом.

А. Смолин

Искатели приключений за письменным столом - самые отчаянные искатели приключений. Они ищут приключений интеллектуальных,

Ф. Меерсон

1. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Свойства уравнения Гельмгольца в комплексном пространстве независимых переменных изучались в работах [53, 54]. Рассмотрим в полуполосе л:>0,0<></ следующую задачу:

и(х,у) = 0, х>0, 0<у<1

дх Ъу

U(0,y)=f(yl U(x,y) = (xj) = 0, (1.1)

lim U(x, ;) = О, Im A: > О, л: -> оо.

Предполагаем, что:

1) функция к(х, у) - регулярная в области при О < ImA: < g(Rex) аналитическая функция комплексного аргумента х, причем g(X) - положительная функция, удовлетворяющая условию g(?)?~ < о, если х= \х\ехр(),<о;

2) к (х, у) в области S для достаточно больших 1x1 стремится к к(у), так что при 1x1 > 1хо I приближенно выполняется равенство

(х,у) 2 Аф(у)ехр(1Ху/\,1 х>\хо\, (1.2)

= 1

где ф}г, Хп - собственные функции и собственные значения соответствующей задачи ШЛ. При этих условиях задача (1.1) имеет единственное решение, которое может быть продолжено в комплексную область переменной X. Причем в соответствии с (1.2)

lim U(x,y) = 0,

х= Ixl expOV), \х\ -оо, 0<ip<n/2. Полагаем

U(Re X,;;) = [/>(Re х + / Im х - /г, y)]r = ]jn х, О

* Смолин А. Физика и жизнь Знание-сила. 1989. № 3.

Меерсон Ф. Алгебра и гармония адаптации Знание-сила. 1988. № 3.

где P(z, у) - U(z, у) для комплексных z G S. Вводя обозначение

/>(Кех+/1тд: -/Г,>)= W(t,y), (1.4)

видим, что функция W{t,y) удовлетворяет: а) гиперболическому уравнению Гельмгольца

+ (Re X + / Im л: - /Г, ;)

Н(Г, ;) = О при

(1.5)

1Ъу Эг 0<></, 0<r<lmx;

б) краевым условиям

Н/(Г,0)= Н/(г,/) = 0; (1.6)

в) начальным условиям И/(0,:и)=Р(Кед: +/ Im л:, 7,;)= (.;).

Ъи[2(г]),у] (bzy (1.7)

н/,(о,я = -

где Z = г(г}) - непрерывная кривая в области S, г? > 0. Например, в частном случае, полагая z = riei = const), имеем в соответствии с (1.3)-(1.7)

( ) = exp(-/V), И/(Г, у) = U(ve - it у\

f (1.8)

f/(Re X,;;) = [ Н/(г, ;)], = = (т? cos ,;;).

Начальная задача (1.7), (1.8) для гиперболического уравнения Гельмгольца является корректно поставленной. Функция (7(z, у) при z = rie служит решением краевой задачи для уравнения Гельмгольца в комплексном пространстве. Следовательно, полученные соотношения позволяют установить связь этих двух задач с решением исходной краевой задачи (1.1) в вещественном пространстве. Для построения эффективных вычислительных схем такая связь может оказаться полезной, например, тогда, когда две задачи в комплексном пространстве легче решить, чем одну задачу в вещественном.

2. ВОЛНОВОД, ЗАПОЛНЕННЫЙ ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДОЙ

Известно [54, 76], что звуковой потенциал Ф в среде, движущейся со скоростью V вдоль оси Z, удовлетворяет уравнению Э2

Эх Ъу bz

ф(,;,) = о, (2.1)

где к - ijo/c, Р = v/c - число Маха (зависимость от времени ехр (-/сог). Рассмотрим следующую задачу. Пусть среда движется внутри волновода нормального сечения D с контуром Г и границами На полагаем Ф/S = 0. Подобная задача может встречаться при рассмотрении звука в трубах, заполненных текущей жидкостью, в вентиляционных коробах и т.п. Конечно, условие на поверхности S может быть при этом более