Если бы тело В двигалось по прямой к А, начиная с расстояния ро, то сигнал высокой частоты, принятый в А, длился бы в 1 - и раз меньше времени по часам А, чем время его излучения В. Тогда в момент встречи В и А мы имели бы

vA-v)tA- VotB. T.t. tA- tB{\-v)-\ (9.39)

Пусть теперь В начинает движение к излучателю А с расстояния а. Тело А излучает сигнал. Тогда время излучения сигнала по часам А до соединения В с А продлится в 1 + и раз дольше, чем время приема этого сигнала в В. Имеем

t4o(l+i) = т.е. tB{\-v)-\ (9.40)

Снова получаем тот же самый результат.

Можно рассмотреть случай, когда А излучает, а В удаляется от А по спирали, причем такой, что посинение принятого света на В компенсируется его удалением от А. Наблюдатель на В по эффекту Доплера не может определить, удаляется ли он от А или стоит на месте. Когда А прекращает излучение, В будет получать сигнал еще некоторое время Аг. Снова имеем t = tB Аг, или Г4 - Аг = г, где Аг по часам А At = = tAV sin ф = tA (1 - V1 - v) Получаем Г4 = (1 - v)~. Если же А излучает, а В удаляется от А по прямой, принимая низкую частоту, то время приема В будет в 1 - и раз больше по часам В, чем время, в течение которого Л излучает, также по часами. Имеем

Гао= vAI-v)-4b, т.е. tA = tB(l-vr\ (9.41)

Таким образом, мы во всех случаях получаем один и тот же результат: время замедляет ход на движущемся теле. Это можно доказать, используя принцип синхронизации часов в СТО либо совмещая оба тела в ощюй точке (неинерционная система координат) , либо посылая сигнал о моменте начала или окончания излучения. Если же оба тела находятся в инерционных системах координат иуществляется взаимный обмен сигналами (или только односторонний), т6 время протекает замедленнее на теле, которое излучает с точки зрения того наблюдателя, который принимает сигнал. Движение относительно, и кто на них на самом деле двигается, сказать нельзя, но кто излучает, а кто принимает сигнал - установить можно.

В связи с рассмотренным вариантом движения теп А п В возникает вопрос: что будет с соотношением времени, если А п В движутся параллельно друг другу, но в противоположные стороны каждое тело со скоростью vl Например, если А п В расположены на вращающемся диске?

Пусть излученный сигнал частоты Vq идет напрямую от А к В через О по диаметру диска. Тогда приемник в О получит сигнал частоты v = = Vo(l - vy, с которой как бы после переизлучения в О придет в В частотой v = р(1 -v)~ = Vq, т.е. с той же самой частотой. Изменения же расстояния между АиВ при параллельном движении в разные стороны нет. Значит Гд = .

Опыты для подтверждения этого равенства были поставлены и описа-

ны в работе [67]. В статье [105] описывается эксперимент, когда излучатель находится в центре и приемник находится на окружности. Наблюдается повышение частоты. Экспериментальное подтверждение поперечного эффекта Доплера описано также в работе [68]. В этом случае наблюдалось понижение частоты - покраснение света.

Были выполнены также опыты при движении света по направлению движения вращающегося диска и против. Подробный расчет смещения интерференционной картины приведен в [70, 105].

Как мы видели в разд. 8, одним из интересных видов двумерного движения является движение по равноугольной спирали на плоскости. При этом если положительный угол ф является углом между окружностью радиуса р и наклоном спирали и этой окружности, то длина спирали от точки пересечения с окружностью до ее центра Л будет

L = p/sini . (9.42)

Релятивистский эффект Доплера при движении излучающего частоту Vq тела В по свинчивающейся спирали и приемника Л в ее центре будет (при с =1)

Vx = vo Vl -vl(1 - у sin i ). (9.43)

Теперь рассмотрим сверхсветовое (W> 1) движение излучателя В по

той же самой раскручивающейся спирали, т.е. при удалении В от А. Имеем

для доплеровских частот следующую формулу [4]:

Vx = vo yJWIil + W sin Ф). (9.44)

Пусть угол ф спирали выбран так, что частота при удалении излучающего тела В со сверхсветовой скоростью W> \ и при его приближении к Л со скоростью V< 1 не изменяется:

Vl -F/(l -Fsin) = /W-\{\ Wsmф) =1. (9.45) Откуда

sin = (l - s/\ - V)IV{y/W-\-\)IW. (9.46) Следовательно,

{Vy/Wn + И/Vl - У)1{У W) = 1. (9.47) Поэтому

tBVo=v,{tUty), r=rf. (9.48)

Изменение масштаба времени не происходит.

Путь, который пришлось пройти телу В со скоростью и со скоростью V, одинаков с точки зрения неподвижного тела А. Он равен L, Тогда приемник А получает сигнал от удаляющегося со скоростью Интела5 в течение времени , а от приближающегося со скоростью F - в течение времени . Имеем

= LjW pIc rj> = LIV-p/c (c = l). (9.49)

Следовательно, используя (9.43) -(9.45) , находим

У= (1 -Fsin)H [F(lH/sin)] =

= {WIV){.JTIy/W\).

Можно ли из соотношения (9.46) определить величину К< 1 и W> 1? Положим aPV = 2 + 5, 5<1. Тогда имеем F/2 : \/5 /\/2, т.е.

трудностей с выбором V и W в (9.46) нет.

Пусть условия (9.45), (9.46) вообще отсутствуют, и равноугловая спираль характеризуется некоторым углом ф. Рассмотрим два варианта движения В.

1. Пусть В движется по замкнутому циклу и излучает. Тогда

tB (w)o = rWiUw), r (v)vo = t2(v)vx. (9.51)

Положим

4 >=74 >, (9.52)

где величина 7 неизвестна. Тогда

в( (o/;(w) + olxiv)) (9.53)

= r(l +7) Ч(1 +VV sini )/Vw- 1 + 7(1 - У sini )/Vr-V].

(9.54)

2. Пусть В движется, а излучает Л

оГа (w) = (h)7,(vv), ot (v) = r (и),(и). (9.55)

Причем г(и) = ty. Откуда

rf = г(1 + 7) [(1 -w sin )/Vw-l + 7(l + ysin )/Vl -у]-

(9.56)

Приравнивая в (9.54) и (9.56), находим

7 = (w/i;) (у/Т1 /?) , (9.57)

= (y+>v)/(y Vw-l + wVl -у). (9-58)

Соотношения (9.57) и (9.58) получены уже для любой равноугловой спирали и для любых скоростей v< 1 и w > I.

3. Рассмотрим тот же самый замкнутыйцикл движения по спирали при условии, что движется зеркало Z, А, В расположены в центре спирали. Имеем

tf=(l -wa)/(l+wa)r>+ r > (1 + i;a)/(l - иа), (9.59)