уравнений при весьма жестких ограничениях на класс задач. Длительное отсутствие хороших ЭВМ привело к тому, что усилия теоретиков были направлены на поиски хитроумных формул. Однако в конце XX в. положение изменяется. Оказывается, что современные ЭВМ даже средней производительности способны реализовать всего за несколько секунд или минут работы сетку с большим числом узлов. Например, ЭВМ БЭСМ-6, выполнявшая за секунду 10 операций, способна за несколько минут просмотреть сетку (т.е. выполнить несколько простейших операций в каждом ее узле) размером 10 узлов (глубина волновода) на 10 узлов (длина трассы). Поэтому за несколько минут ЭВМ БЭСМ-6 легко справляется с вычислением поля на сетке, имеющей примерно 100 млн узлов. Такое число узлов, 10*, уже вполне соизмеримо с интересующей нас областью в океане Юм. В такой области узлы можно разместить довольно часто даже на расстоянии порядка Л. Что же говорить о применении ЭВМ со скоростью 10 операций в секунду и больше.

Второе опасение при введении сетки состоит в том, не проиграем ли мы в скорости вычисления поля, если нам придется его вычислять на всей сетке, перебирая слой за слоем узлы сетки на каждом нормальном сечении волновода, медленно продвигаясь вдоль его оси. И здесь наши опасения напрасны. Оказывается, что полное звуковое поле в волноводе воспроизводится самим исходным уравнением Гельмгольца или его разностным аналогом на сетке довольно быстро и достаточно точно. Подобно тому как волновой процесс развивается в реальном сплошном волноводе, так развивается он и в процессе вычисления на сетке, заложенной в ЭВМ, только в ряде случаев значительно быстрее благодаря тому, что упругость водной среды и скорость звука в ней - заданные величины, а эффективность конечно-разностного алгоритма на сетке квадратично растет с зень-шением частоты.

Переход к дискретному описанию непрерывных величин широко распространен, потому что он неизбежен при использовании ЭВМ. При этом необходимо, чтобы шаг пространственной или временной дискретизации был не больше половины наименьшего пространственного или временного периода в спектре анализируемого процесса. Это означает, что если в волноводе учтены нормальных волн, то число узлов в нормальном сечении волновода можно взять равным 2Nq [47].

Так, например, в океане глубиной 6 км на частоте /= 1 кГц, когда длина волны звука равна 1,5 м, на нормальном сечении волновода укладывается 8-10 полуволн. Поэтому в таком примерно однородном водном слое с идеальными границами (абсолютно отражающими плоским дном и поверхностью) звуковое поле точечного ненаправленного излучателя в полном соответствии с известными волновыми требованиями и законами для водоводов состоит из 8-10 незатухающих нормальных волн, направления распространения которых составляют любые углы от О до ±90° с осью волновода, т.е. с горизонтальной координатой, направленной вдоль дна и поверхности. (Неоднородные затухающие волны при выборе сетки в МКР можно не учитывать подобно тому, как они не учитываются в ЛМ и МНВ при достаточно протяженной трассе.)

В однородном волноводе с постоянной скоростью звука с = 1,5 км/с все нормальные волны достигают дна и поверхности, которые, конечно, в реаль-

ном океане совсем не плоские и не абсолютно отражающие. Они рассеивают и поглощают волны. Нормальные волны, достигшие взволнованной поверхности океана, рассеиваются на ней, а достигшие поглощающего дна проникают в него и поглощаются. Поэтому в однородном волноводе все нормальные волны испытывают рассеяние и поглощение на границах. Они быстро устраняются из волнового поля, а само поле быстро затухает с рассстоянием.

Однако в океане существует слабая неоднородность водной среды по вертикали, когда скорость звука c(z) имеет минимум примерно на глубине 1 км и максимальна вблизи дна и поверхности: Cmax/min 105. Эта слабая неоднородность совершенно изменяет картину распространения нормальных волн. Часть волн, идущих под крутыми углами к границам, по-прежнему достигает дна и поверхности, рассеивается и поглощается. На них неоднородность океана почти не сказывается, да и сами эти волны не вносят вклада в волновое поле на достаточно большом расстоянии, равном десяткам толщин волновода. Зато другие нормальные волны, идущие под малыми, скользящими углами к оси, испытывают на себе в полной мере влияние неоднородности водной среды. Они, двигаясь вдоль соответствующих им траекторий - лучей, отклоняются по известным законам рефракции в область минимума скорости звука - в область оси звукового канала, пересекают эту ось под малым углом, удаляются от нее, но снова поворачивают, не достигая границ волновода и областей, где скорость звука максимальна. Такие волны или лучи многократно пересекают ось канала под углом от О до ±5°: Фактически при распространении в звуковом канале наибольшая часть энергии приходится на долю сектора углов с полушириной 5° [84].

На таких волнах уже не сказывается ни рассеяние на взволнованной поверхности, ни поглощение в донной среде. Они просто не доходят до границ волновода, но зато, распространяясь почти без затухания, проходят в звуковом подводном канале огромные расстояния в несколько сот толщин волноводов.

Возвращаясь к нашему примеру, видим, что в неоднородном волноводе для частоты / = 1 кГц из 8 10 нормальных волн, заполняющих углы от О до ±90°, можно учесть примерно всего одну пятнадцатую часть, равную 5-10 волн, заполняющих углы от О до ±5,7°, т.е. сектор с полушириной в одну десятую радиана. Число узлов сетки в нормальном сечении волновода можно взять при этом равным N = 10. Число узлов по трассе, равной, например, ста толщинам волновода, в рассмотренном примере следует взять порядка Ю*, так как шаг сетки в направлении распространения узкого пучка волн можно увеличить пропорционально самому углу (0,1 рад) по сравнению с шагом поперек пучка, т.е. по нормальному сечению волновода.

Поэтому на частоте / = 1 кГц в глубоком (Я = 6 км) океане за несколько минут работы ЭВМ БЭСМ-6 на трассе L = ЮОЯ = 600 км можно вычислить звуковое поле. При этом используется разностный аналог уравнения Гельмгольца на сетке, имеющей 10 узлов, и в каждом узле выполняется 5-10 простых арифметических и логических операций. Эта величина снова соответствует приведенным выше оценкам размеров интересующей нас области океана. Близость тех и других величин позволяет более уверен-

но воспользоваться методом сеток. Кроме того, оценка скорости вычисления поля методом сеток показывает, что она обратно пропорциональна квадрату частоты, Свыч fUp - время решения задачи). Все

это означает, что существует полное соответствие как размеров звуковых трасс в океане, так и быстродействия и памяти современных ЭВМ средней производительности для наиболее типичного частотного диапазона звука в океане, когда / = 0,1-М кГц, а Л = 1,5-М5 м.

5. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ. ОБЗОР РАБОТ

В начале 70-х годов были рассмотрены различные разностные схемы в применении к волноводным задачам [53]. Доказана сходимость схем, построенных на основе метода дробных шагов, установлена высокая скорость сходимости классической схемы хопскоч, исследованы разностные схемы с нелокальным краевым условием и другие схемы. Затем в работах [38,47,49,51,52,54,81], метод конечных разностей получил дальнейшее развитие в применении к задачам вычисления полей. Был предложен метод последовательных прохождений волн, метод внутренних точек для волноводов, имеющих сложную границу и заполненных неоднородной средой. Кроме того, была реализована возможность получить решение уравнения Гельмгольца в комплексной области независимых переменных, где оно обращалось в гиперболическое уравнение Гельмгольца (уравнение Клейна-Гордона) , и проектировать его численное решение в вещественное пространство.

Работы по применению численных методов к волновым задачам широко обсуждались на школах-семинарах в Звенигороде и были опубликованы в соответствующих трудах [51, 52]. Особенно полное и всестороннее обсуждение численных методов прошло на двух всесоюзных конференциях (1984 г., Душанбе и 1988 г., Москва) по численным методам в акустике. Результаты были опубликованы в тезисах конференций.

С конца 70-х годов, когда появились первые статьи по применению метода сеток (МС) или, что то же самое, МКР для решения параболического уравнения в гидроакустике, начался ускоряющийся рост публикаций иностранных авторов по этой проблеме.

В 1987 г. вышли две работы, носящие обзорный и обобщающий характер. Одна из них [111] посвящена развитию метода параболического уравнения и обзору существующих разновидностей ПУ. Вторая [112] делает упор на развитии МКР дня их решения.

Представленный обзор состоит из краткого изложения работ [111, 112], дополненного сведениями из других публикаций. Кроме того, все формулы приведены к единой системе обозначений, а некоторые формулы (например, (8), (19), (28) и (32) из [111]) исправлены. За основу системы обозначений приняты обозначения работы [111].

В [111] дана таблица существующих вариантов ПУ, которая в дополненном виде воспроизведена в табл. 1. В первой колонке - номер уравнения, на который мы будем потом ссылаться в тексте. В следующей колонке -название уравнения. В третьей - представлено само уравнение, в четвертой - его авторы и в последней - год создания.

Для всех уравнений из этой таблицы (если не оговорено особо) и -