вместе с телом Л, другую - движущуюся со скоростью v относительно тела А (тело В) и третью - движущуюся со скоростью -у, то для двух последних систем возможны синхронизация часов в некоторой совпадаю-щей точке. Эта точка - точка В на расстоянии а от А затем приблизится к телу А, Часы можно будет сверить непосредственно, не подвергая тело В никакому ускорению: оно просто равномерно улетает со второй инерциальной системы координат, удаляясь от А со скоростью и. Это было рассмотрено выше в разд. 5.

Формула релятивистского эффекта Доплера, когда направление движения тела В составляет угол ф с касательной к окружности, в центре которой находится приемник, имеет вид (с = 1) [103]

=ио(\-иК1-и$тф), (9.13)

Отсюда следует, что, если излучающее тело В приближается к приемнику А по скручивающейся спирали р = Poexp((/?tgi ), где р, - параметры цилиндрической системы координат, то полагая

l-usun =Vl -vl $тф = (1-у/1-и)/и = и1(1 +Vl -v)> (9.14) имеем Рф = Vq, Следовательно, несмотря на то, что тело В движется и приближается к телу Л, приемник Л никакого доплеровского изменения частоты не заметит. Можно считать (если не учитывать направленность приемной системы по углу), что тело В неподвижно.

Наоборот, частота приемного поперечного эффекта Доплера на той же самой спирали (но только раскручивающейся ф <0) будет

v=: Vo(l-v)-/(\-vsinф), (9.15)

Тогда, если 1 - i; sin i = (1 - v) , находим

sini =i;-i-y-i(l -у2)-2 9

Таким образом, если излучатель В при вращении по окружности с центром в Л излучает сигнал частоты io > то Л принимает сигнал пониженной частоты v = Vq y/l -v . Если теперь В начинает приближаться к Л по спирали р = Ро ехр ((/? tg ф), то понижение частоты компенсируется и Л будет принимать частоту Vq. Наоборот, если В удаляется от Л по той же самой спирали, причем Л излучает, а В принимает сигнал, то снова как излученный, так и принятый сигналы будут иметь одинаковую частоту Vq. Как в том, так и в другом случае нельзя будет по доплеровскому сдвигу частот определить приближается ли В к А или стоит на месте, или, наоборот, удаляется В от А, Как быть в этом случае с изменением масштаба времени? Рассмотрим этот вопрос подробнее. Если мы имеем спираль р =

= Ро exp((/?tg i ),-oo< 0,то ее длина L= f dl, dl = pdip--dp.

- Ф = -oo

Используя формулу для эффекта Доплера от зеркала [28], имеющего скорость 1/ = /о = (1 + vsm\}/)/(l - и sin\ ), и формулу (9.13), можно найти выражение для эффекта Доплера, когда излучатель расположен в центре окружности, а приемник движется под углом ф к этой окружности / = /о (1 + у sin\ ) (1 - и)~ *Это логарифмическая или равноугольная спираль; ее длина конечна; однако она делает бесконечное число витков вокруг центра. Эффект возрастающей центробежной силы при движении по спирали мы не учитываем.

Находим

= Ро Vl +tg/tg ф = po/sin ф. (9.17)

Следовательно,отношение длины/, к расстоянию Ро

L/po = 1/sin ф. (9.18)

Пусть сначала В удалено от А и между ними расстояние ро. В некоторый момент времени to В начинает излучать частоту Vq и одновременно двигаться в сторону Л по спирали. Следовательно, приемник А примет излучение частоты Vq через некоторый интервал времени At, которое необходимо, чтобы сигнал от В дошел до Л. С другой стороны, по часам неподвижного приемника А имеем, что время t на прохождение телом В всей дуги L и время А г на прохождение световым сигналом расстояния ро удовлетворяют равенствам vtA = L, с At = Ро (с = 1). Значит, в соответствии с (9.14) At/tA = (Ро/) v = v зтф = 1 - Vl - v. Пусть время излучения будет ts, а время приема сигнала А будет г. Тогда - Аг = . Следовательно,

tA = tBil-v)-. (9.19)

Мы снова получили формулу релятивистского соотношения времени на движущихся и неподвижном телах. Оно работает даже в том случае, когда частота, излучаемая движущимся к А телом В не претерпевает никакого изменения. По измерениям в А (если система измерения в А ненаправленная) нельзя сказать, приближается ли излучающее тело В, например звезда, к приемнику Л, или она неподвижна: все спектральные линии окажутся на месте. Можно сказать, что здесь кончаются владения информащюнного поля эффекта Доплера о движении тел. Информационное поле изменения масштаба времени по-прежнему работает в зависимости от скорости движения тел.

Рассмотрим еще одну задачу. Пусть вначале А, В находятся в одной и той же точке. Затем В начинает удаляться по спирали (L, Ро) до точки р = Ро, а Л в это время излучает. Тогда В снова будет принимать излучаемую А частоту Vq без всякого доплеровского сдвига. Время, в течение которого излучает А, обозначим Г4. Конечно, после того как А перестанет излучать, В будет принимать сигнал еще в течение времени Аг, а всего ts + Аг, где Аг - интервал времени, необходимый, чтобы сигнал прошел расстояние ро- Расстояние Ро может быть любым. Важно, чтобы А в какой-то момент времени прекратило излучать сигнал, а В прекратило его принимать при р = Ро Сигнал прошел расстояние Ро со скоростью с (с = I) от А цо В по часам неподвижного тела Л At = i?sini . Имеем

и = tB- tAv\ sin ф\. (9.20)

Откуда, используя (9.16), получаем снова, что = ?в (I -v) . Изменение масштаба времени произошло несмотря на то, что никакого доплеровского изменения частот на В не было зафиксировано. По наблюдениям на В нельзя было установить, удаляется ли 5 от излучающего Л по спирали или стоит на месте. Снова изменение масштаба времени оказалось более универсальным, чем доплеровское изменение частоты, хотя при других видах движения оба эффекта связаны.

1/2 14. Зак. 831 209

Конечно, поперечный доплеровский эффект при движении ела на орбите может быть получен и из других соображений. Пусть, двигаясь по круговой орбите со скоростью у, тело В проходит малую дугу а (а - часть окружности с центром в А) и излучает сигнал частоты Vq во все стороны, в том числе против движения и по движению. Впереди и сзади тела В находятся на концах дуги два неподвижных зеркала и Z2, которые переотражают сигналы низкой и высокой частот к А - приемнику. Сколько времени уходит у светового сигнала на прохождение дуги а? Имеем At = а/с=а (при с = 1). Так как по часам А vt =сс, то At = vt. Следовательно, сигнал низкой частоты, отражаясь от , будет приниматься на Л в течение г(1 + и), а сигнал высокой частоты, отражаясь от Z2, будет приниматься (дО ~) где t - время движения В на дуге а, измеренное по часам Л. Имеем

VotB = Vx{\v)tA. VotB = vx(-v)tA (9.21)

Откуда из любого уравнения (9.21) получаем

ts = Га\ГГ-77 (9.22)

т.е. 1а( ~ )~ ~ понижение частоты на неподвижном приемнике А,

Пусть теперь А излучает, а В по-прежнему движется по дуге и сигнал в В попадает через зеркала Z, и Z2. Имеем

VotA = Px(lv)tB, VotA = Px(-v)tB. (9.23) Откуда из любого равенства (9.23) находим

Ы = tB Vl-v (9.24)

и = - ь) Теперь уже наблюдается повышение частоты на движущемся приемнике В,

Соотношения (9.22) и (9.24) очень интересны. Пока излучает движущееся тело В, а приемник А неподвижен, на движущемся теле В ход времени замедляется. Наоборот, когда излучает сигнал Л, то на движущемся теле В ход времени ускоряется. Конечно, это происходит не только благодаря зеркалам Zj и Z2, находящимся на траектории движения и отражающим сигнал, которые сколь угодно близко в В, т.е. фактически для сигнала в самом 5. Наличие зеркал - просто наглядный прием.

Если тело В движется под углом ф к окружности, в центре которой находится приемник А, то вместо дуги о: возьмем наклонную под углом ф к а малую дугу ]3, на концах которой находятся два зеркала Zi и Z2. Раньше, когда излучатель В двигался по дуге а и сигнал длился время Гд, его начало - начало низкочастотного сигнала - достигало А через время г = г/с= г (с = 1), а его конец по часам А был принят в момент времени Ti = г/с -OLvtA- tA- Теперь, если оба зеркала близко расположены к В, то сигналу в конце дуги ]3 предстоит путь L = г -Р sin\p. В связи с сокращением времени прихода сигнала на А наблюдение будет продолжаться меньше в 1 - и sin раз и соответственно во столько же раз повысится