где в релятивистском случае

o = V(lVop(v) = /(lvЖ\-v) . (7.4) 03 (7.1) и (7.2) прис= 1 находим

2 l+ i А А j.

л л а и.

1 +Wi

(7.5)

Полагая = г>+ ... + + г> + ... + г >, = л + - + л + - +

4(1)

+ ... t

.b(m)

, имеем

Л +1 +...+7,1+1 +5i +...+5, )-4:c( l) + 7l:c( 2) + ...

... + 7 - 1 ( ) + 51 (1,1) + ... + Sm (lm )] . (7.6)

Умножив числитель и знаменатель в (7.6) на (1 + Wi)/wi, получим l+w т l-Vn -i Vl -

] [ 2

Р=1 ln

(7.7)

1 ml

Поскольку an = = L, то знаменатель в (7,7) равен о: 2-+ /3 2-. Если

р = 1 Up p=lVp

п = 1, т= 1, то получаем прежнюю формулу. Переходя в (7.7) к пределу m -> оо; а, 3 -> О получаем интегральную формулу замедления времени на неравномерно движущемся по замкнутому циклу теле В

ф--- dx

А -tsv4x)dx

vix)

(7.8)

где # = / + /, если тело Л расположено при х = О, а тело В удаляется от А о L

по осид: на рассгояние L.

Соотношения (7.1)-(7.3), (7.5)-(7.6) являются достаточно универ-сапьными. Так, например, если А и В покоятся в одной точке, а движется с переменной скоростью зеркало Z, то в качестве доплеровских частот вместо (7.4) необходимо взять

о Л ) = (1 - )/(1 + ), о K(v)-(l v)/(l-v), (7.9)

Тогда из (7.6), умножая числитель и знаменатель на (1 + Wi)/wi, находим

1 +и

р=1 Vp

+ 32

р=1 Vp

Л 1 - р а2--

р=1 Up

(7.10) 199

Изменения масштаба времени на А, В нет как в электромагнитном, так и в акустическом случае (эффект Доплера для зеркала одинаков), как для конечных п, т, так и в пределе aw -> >; а, 3 -> 0.

01метим следующее обстоятельство. Поскольку движение с переменной скоростью - это всегда движение с ускорением, то в полученные соотношения можно ввести ускорение. Сделаем это таким образом. Формулы преобразования Лоренца для двух инерциальных систем А(х, t) и В(.х, t)

х + vt t + илг/с

запишем в следующем эквивалентном виде

xXs{t)x4y/Y\ t=ts(t)x/(cl-n, (7.12)

Xs(t) = vt/T ts(t) = t/y/r. , (7.13)

Величины Xs(t) и Гв(г) ~ это координаты начала (х = 0) движущейся системы В и изменение этих координат в зависимости от t. Тем самым при л: = О мы получаем

t = rVVT = гв/у/Т. (7.14)

Часы тв расположены в В при = О, и по ним осуществляется отсчет времени . Часы системы А оказываются в разные моменты времени совмещены с точкой = О, и по ним ведется отсчет времени Г. Наоборот, если в (7.1) положить х = О, то

и = Г(1 - uVc)/vT, т. е. t = и/Vr, (7.15)

т. е. часы, расположенные в начале системы координат Л (), сравнивагш с проносящимися мимо них часами в системе B(t). Этот случай вполне идентичен случаю, рассмотренному в разд, 2, где относительность движения систем К и к проявляется одинаковым образом для изменения интервала финитности прямой и обратной волн /, fi.

Таким образом, х = vt/\/l - 0 - расстояние до начала (х = 0) системы координат К(х\ t) или до тела В, помещенного в начало координат. Причем

dx = vdtlyj\-. (7.16)

Если теперь мы снова вернемся к движению В по замкнутому циклу со скоростью и(х), то согласно (7,8) имеем

Та = TsФdxv{x)ф/\-v\x)c dx/v(x). (7.17)

Пусть X = х(г) и v(x) = i(r), тогда согласно (7.16), производя замену в интеграле (7.17), находим

0 dt Ts Тв dt

Следовательно, в случае зависимости скорости v от t соотношения (7.12)

можно записать в виде

о vl -/5 о сyl -3

Откуда

V1 - /3

dX = cm = c-;==dt; dT= (7.20)

(0 с?х xmldt dX-с - dt + - я + -;-dt\

л dx X d0/dt

Поскольку для интервала времени dr в движущейся системе мы имеем формулу

dr = \/l-{\lc){dXldT)4T, (7.21)

где Х,Т - параметры покоящейся системы, т. е. системы Л, или

dTdT -{\lc)dX\ {1.22)

то находим, подставляя (7,20) в (7.22),

: dr = [1 + {xlc)git)] dt - dxjc ={[1 + {xlc)g{t)\ -

.-{\lc)dxldt}dt\ (1.23)

Здесь g(t) ~ dv(t)/dt - ускорение начала системы координат К\ где находится тело В. Видно, что метрика пространства в Is! зависит от ускорения [72, 94].

В связи с полученными соотношениями отметим ряд особенностей при движении с ускорением. Заметим, что если ускорение на всей трассе является постоянным, то

v/y/\-v=gt (7.24)

Откуда

v = gt/y/lgt\ (7.25)

Следовательно,

t X =

f vdt= f-===(llg)(s/l gt - 1). (7.26)

0 0 vl -g I

Поскольку Xi = t - t\ TO при t > 1/g имеем Xi <x. Сигнал с A никогда не догонит точку х в системе В, двигающейся с конечным ускорением. Это обычная проблема горизонта событий. Масштабный фактор растет медленнее, чем размер причинно-связанной области [19],

Согласно фундаментальной гипотезе Эйнштейна масса тела в ускорении и масса тела во всемирном законе тяготения одна и та же. Следовательно, движение с ускорением в одномерном случае можно считать движением в поле тяжести.