Имеем

>о=да;(1), г>о=г( );(и), (6.11)

где х, х ~ доплеровские частоты сигнала, отраженные от зеркала Z, и принятого в Д

:с=К1-1)/(1+Х V = V{\U)\{\-U), (6.12)

Имеем

-t\{\ +/-4(1 -i)/(i + +w)/(i -w)) = r. (6.13)

Никакого изменения масштабов времени в расположенных рядом и обменивающихся сигналом через двигающееся зеркало Z телах Л, В не произошло. Этот вывод справедлив как в релятивистском случае, так и в нерелятивистском акустическом, так как эффект Доплера от двигающегося зеркала как в том, так и в другом случае дается формулами (6.12).

Поскольку имеется такая аналогия, можно рассмотреть сверхзвуковое движение зеркала Z, которое вполне реально и в данном примере совершенно подобно сверхсветовому движению Z, которое проблематично, как и вообще все сверхсветовые движения. Что касается скорости и, то ее надо считать дозвуковой, и < 1, иначе звук (свет) просто не догонит удаляющееся зеркало. Скорость и считаем сверхзвуковой, w > 1. Тогда от зеркала Z при его удалении от А.ВтВ будет поступать низкочастотный сигнал в течение времени = д/и + а/с = а(1 + и)/и, (с = 1). Что касается интервала поступления на В высокочастотного сигнала, то он теперь будет t = а/с - а/и = а{и - l)/w (при с = 1). Действительно, поскольку w > 1, то он (сигнал) начнет поступать на 5 в обратном порядке, начиная с момента, когда Z вернется в В. На это потребуется а/и времени ( хвост высокочастотного сигнала). Он закончится тогда, когда начало высокочастотного сигнала пройдет расстояние а/с. Величина - а/с - а/и и выражает разность между приходом на В хвоста и начала сигнала. Его доплеров-ская частота при этом будет

;=о(1+ )/( -!). (6.14)

Имеем

ич = в=с(Р (Ао = вКи). (6.15)

Соотношение для времени приема сигналов различной частоты будет

а=; = о( -1)/[ы(1+и)]. (6.16)

Интервал времени от момента отлета зеркала Z до момента его возвращения обозначим Т, Поскольку момент возвращения предшествует поступлению на В высокой частоты, то имеем

Г=/-г = Г(1-а). (6.17)

Именно в этот момент необходимо сравнить время, которое потребовалось излучателю а, чтобы излучить сигнал частоты Vq, и приемнику В, чтобы принимать сигнал до момента остановки зеркала. Имеем

= tl(vAv)/vo + a v(u)/vo)= T[(\ - v)l(\ + u) + a(u + \)/(u - 1)/(1 -a)=T.

(6.18)

Мы получили = г. Изменения масштаба времени нет.

Рассмотрим еще два примера, когда Л, В покоятся, а зеркало Z движется по прежнему замкнутому циклу. Пусть скорости v яи больше единицы. Понятно, что если А начало излучать сигнал в момент отлета Z, то сигнал с А достигнет Z только тогда, когда Z будет на обратном пути. Следовательно, чтобы зеркало принимало сигнал на всем своем пути, то его надо начать излучать с А еще до старта Z за некоторое время . При этом Z уже не зеркало, а более сложное устройство: оно принимает сигнал в обратном, естественном порядке и на этом участке пути по направлению своего полета и переизлучает его в сторону В с частотой 7 = Po(v - \)/(v + 1), I? > 1. Пусть с момента начала излучения, после отлета Z до момента его возвращения всего пройдет время Т - Понятно, что в течение времени

(Z удаляется) приемник будет принимать низкую частоту, а затем в течение времени + высокую. Имеем

0 = /: {tA TA)Vo=tl%iu). (6.19)

Соотношение между и прежнее в виде (6.16). Тогда, используя (6.17), получим

TA=tA7A-tA= V-, [tXiu) -tlx]=ts + - 1) -

-(v-\)l(v-\)] = [T/(\ -a)] [a(u + \)l(u-l)-(v- l)/(u + l)] =Г.

(6.20)

Рассмотрим пример, когда в среде скорость звука в одном направлении от излучателя А к зеркалу Z будет s, а в обратном s . Зеркало удаляется от А на расстояние а со скоростью v (р < s), принимая сигнал частоты = о(1 - ь>Д+) от Л и излучает его в сторону В и = Uo(l - v/s ) (1 + v/s ). Затем зеркало приближается к 5 со скоростью u:i> = Vq (I + u/s) (1 - u/s ). Пусть tH t -длительность приема в 5 низкочастотного и высокочастотного сигналов. Так как t = a/v -a/s t = а/и - a/s , то

- v I -u/s

Как обычно, имеем rio fv, ао Г°Ь , откуда t = t.

При обмене информацией в анизотропной среде в виде звуковых волн изменение масштаба не происходит. Правда, сами тела А и Вне двигаются, а движется только зеркало Z. Однако ничего не меняет и движение тел А, В,

если они обмениваются только звуковыми волнами. Однако если использованы релятивистские формулы акустического эффекта Доплера (3.15а), то масштаб времени изменится. Действительно, если тело В приближается и удаляется, а А излучает, то имеем

tBx = tjVo, tBvtAVo, (6.22)

v=(l-v/s)(l-vr\ v=(lv/s)(l-vr\ (6.23)

Откуда = (1 - )~ Аналогично если В движется и излучает акустическую волну,то

Рх=уД~ (l+i;A)-\ v=\/l-v (1 -v/s)-. (6.24)

Находим

tl = Uiix + 7;)/(l + 7) = г5. (6.25)

Получили прежнее соотношение для изменения масштаба времени. Поэтому если АиВ обмениваются звуковой волной, распространяющейся в среде, то эффект Доплера учитъюает релятивистское изменение масштаба времени. Поэтому возможен эффект акустических близнецов.

7. ДВИЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ СКОРОСТЬЮ

Конечно, не обязательно иметь только две скорости и и w на всем цикле движения излучающего тела В, Скорость может меняться более сложным образом. Сначала предположим, что скорость тела В изменяется скачками. Разобьем трассу длиной L на п т отрезков равной длины а = 1/п, j3 = m. На каждом из отрезков скорость считаем постоянной 1, W2, tin при удалении от Л и Vi, l>2, v при приближении к Л. Тем самым мы как бы вводим п -т инерциальных систем, в которых соответствующим образом синхронизируем часы.. Нашей задачей является изучение информационного поля, связанное с эффектом Доплера, а не силового поля, характеризующего ускорение тел. Движение с ускорением - это область ОТО. Нас же в первую очередь интересует кинематика, изменение масштаба времени при кусочном неравномерном движении.

Рассмотрим случай, когда излучает тело В. При удалении В с участков движения а, 2а ... в Л будут приходить низкочастотные сигналы различной частоты ixii ) х(2) ... ( ) длительность по часам Л будет

AT, = а/и, +а/с, АГ =а/и (7.1)

Затем В начнет обратный путь к Л и с участков 3, 2/3... в Л будут приходить высокочастотные сигналы *Рх), v{v2) {руп)- Их длительность будет

Ai>i=/u-/c,.. A=p/v,n-P/c. (7.2)

Тогда

?У Ч = 4(i)..... io = tKM. (7.3)