Если в (3.15а) положить s = c, т.е. считать, что звук распространяется через среду со скоростью света с, то получим из (3.15а)

1 - v/c J-v/c J \-v\c

(3.156)

1 + и/с 1 + и/с 1 + v\c

т.е. релятивистский эффект Доплера в такой гипотетической среде будет одинаковым как для движущегося приемника, так и для движущегося излучателя. Совсем как в СТО, где никакой среды нет.

Почти всюду выше мы полагали скорость света с= 1. Однако в некоторых случаях, особенно при наличии силового центра (тяготеющей массы), можно в качестве упрощения приближений ОТО [19, 72, 96, 97] вводить анизотропию пространства и считать, что в одном направлении скорость света с, а в противоположном - с. Такие предположения рассматривались в ряде работ [15-17]. Для подобного анизотропного пространства возможно получение преобразований, аналогичных преобразованиям Лоренца.

Рассмотрим, например, волновое уравнение

/ Э 1 Э \/ Э 1 Э\

I - +--If ----О = 0. (3.16)

Оно содержит произведение двух операторов (соответствующих кинематических волновых уравнений) и имеет решение

u{x,t)=f{x -ct)fx{xcyt\ (3.17)

Линейное преобразование независимых переменных с единичным определителем

x=<-u)(x + ur), t = a{-v)[ux * lice х){\ vie-vie x)t], (3.18)

a{-v) = (1 +i;/c) /41 -u/ci)~/\ (3.19)

оставляет ковариационным уравнение (3.16), a его репхение (3.17) преобразует к виду

ux{x\t)-f[a{-v){\-vlex){x-ct)] +

+/i[(-u)(l+u/c)(x+ciO]

ux{x\t)=f

I 1 -vlex , ,1 Г / 1+у/с ,

1 + vie

1 - Фх

(3.21)

Поскольку для точки X = о согласно (3.18) имем х = -xt\ то величина a{-v) соответствует случаю движения системы К влево, т.е. с отрицательной скоростью. Величины под знаком корня дают соответствующее

Скорость света, мгновенно передающая сигнал по сравнению с обычными скоростями, становится весьма медленной при рассмотрении космических расстояний, гравитационных линз, искривляющих луч света, других экзотических объектов во Вселенной.

изменение частот при движении источника и приемника (v>c, v>Ci)

(3.22)

= oV ---> jc = V--

l+v/c Полагая

1 - v/ci 1 - vjci

l-v/сг

1 - vjci

I+V/C 1 1 -Va/C

получаем формулу сложения скоростей v+vi - vvi (ci -c)l(cci)

1 -vviKcci)

(3.23)

(3.24)

Можно сказать еще несколько слов о сверхзвуковом и сверхсветовом движении. Прежде всего если в решении (3.10) волнового уравнения положить и = 1, т.е. считать, что система /Гдвижется относительно К со скоростью света с, то при удалении системы сигнал вообще не может быть принят, так как VO - ) (1 +f)=0. Вернее, он будет принят, но частота его будет равна нулю, а любой носитель функции, характеризующий длительность излученного импульса, станет бесконечным на приемнике. Если же системы сближаются со скоростью света с, то частота принятого сигнала бесконечна, а длительность (носитель финитной функции) равна нулю. Иначе говоря, сигнал бесконечной частоты будет принят, когда излучатель вплотную приблизится и сольется с приемником. Имеет ли смысл такая передача волновой информации?

В акустическом случае дело обстоит совершенно иначе. Полагая в (2.7) у = О, а W = 5, мы видим, что, если излучатель удаляется от неподвижного приемника со скоростью звука, то приемник будет принимать частоту и =Vq/2. Когда излучатель удаляется от приемника со скоростью w>s, приемник будет принимать частоту v = Vq/ (1 +w/s).

Если же излучатель неподвижен (w = 0) и приемник удаляется от него со скоростью V = S, то и = О и приема сигнала нет. При v> s удаляющийся от неподвижного излучателя приемник примет излучеш1ый им ранее сигнал в обратном порядке, начиная с хвоста , т.е. с той части сигнала, идущего в среде, который ближе к излучателю [76]. На это указывает знак минус в числителе формулы (2.7) при v> s. Частота же принятого сигнала будет v = Uo(v/s - I). Следовательно, формула (2.7) работает при v> и > только ее надо написать в виде

1 - v/s

(3.25)

1 +v/s

Обратимся снова к электромагнитному случаю при и > с, т.е. v>l. Произведение (1 + и) (1 -v) при v> \ в решении (3.5) будет отрицательным. Поэтому считая a(v) вещественной функцией, необходимо положить

a(v) = (v - > 1. (3.26)

После этого решение (3.4) будет выглядеть как

.(о=/[-/?=¥(-) +/i

(у -1)

(3.27)

Прямая волна /(х - t), т.е. излученная в направлении сверхсветового движения системы К\ догоняющая /-систему, проходит для наблюдения в системе К* в обратном порядке: на это указывает знак минус перед корнем в (3.27). Обратная волна /(x + f), т.е. волна, которая идет навстречу системе А, проходит перед наблюдением в А в обычном порядке. Для доплеровских частот имеем

i; + 1 v - I

(3.28)

причем

-vx = io(v -1)- Fx-vx = 2i;ov(v -1)- v>\. (3.29)

(3.30)

При сложении двух сверхсветовых скоростей имеем v - I vl - I I - v I ~vi \ -vfj и+ 1 Ui+ 1 1 +i; I + vi 1 +1;

где дается формулой (3.9) hVo< 1.

Известно, что в пространстве Минковского (Xi ,Х2 ,Хз, Х4), (прих4 = = /Хо = ict) вводится общее преобразование Лоренца с матрицей L. Однако группу образует только собственное преобразование Лоренца, для которого l-l = 1. Досветовые движения и повороты, когда направление оси времени сохраняется, образуют ортохронную подгругп1у группы Лоренца. Несобственное неортохронное преобразование Лоренца не образует группы, как это видно в частном случае сложения двух сверхсветовых скоростей в виде формулы (3.30).

Движение со скоростью W> 1 (т.е. со сверхсветовой) соответствует преобразованию Лоренца, которое изменяет знаки у пространственной и временной координат. Так, например, если мы имеем уравнение

uxx+tiyy+u,z -Wff = 0, (3.31)

то при движении со скоростью wi > 1 вдоль X, воспользовавшись преобразованием Лоренца, приходим к уравнению

-иxx (3.32)

Теперь временем стала координата ху sl t - пространственной координатой. Пусть имеем движение со скоростью w2 > 1 вдоль у (х ~ время). Получаем

хх -yy-zz-tt=0, (3.33)

Временем стала координата у. Рассматриваем движение вдоль z со скоростью W3 > 1. Получаем

хх уу - zz -tt = (3.34)

Наконец, снова рассматриваем движение со скоростью > 1 вдоль координаты t. Получаем

xxtiyy+u -ut, = 0. (3.35)

Мы пришли к исходному волновому уравнению (3.31). Четырехкратное