Рис. VIII.l. Движущиеся инераиальные системы координат

Рис. Vin.2. Прямые и обратные волны в системах координат К, К

Функция Ui{x\t) по-прежнему удовлетворяет волновому уравнению (при с = 1), а волны fx как были прямой и обратной волной, так ими и остались, только в новых переменных х, t\

Таким образом, мы имеем две системы координат (л:, Г) иК{х\ t), Поскольку точка x = О соответствует равенству л:=-иг, а точка х =0 ~ равенству х = у, то можно считать, 4то К движется вправо относительно К со скоростью V (рис. Vin.l). Если ввести еще одну систему координат /l (x vг), движущуюся влево относительно а:со скоростью v и, сп[едо-вательно, покоющуюся относительно К, то, заменяя в (3.3) и (3.4) v на -и, находим

2( f)-f\a{v)a{-v){\ - .)(1 +и)(х -П] +

fx[a(v)a(-v)(lvXl - i;)(x4 г )].

Пусть < 1 (т.е. 0 <с). Тогда, потребовав, чтобы U2(x,t) =w(x, г), находим коэффициент а (и), так называемый фактор Лоренца,

a(v) = (i-v)- = (1 -0V)- (3.6)

При условии, что < I и что a(v) имеет вид (3.6), преобразование (3.3) называется преобразованием Лоренца - непрерывной группой Лоренца, зависящей от параметра и. Групповые свойства (3.3)* легко установить, если взять систему а: (х , г ), движущуюся со скоростью Vx{v\<l) относительно а:(л:, t*). Тогда

х = a(vx){х + vx t\ г = a{vx){vxx + /), (3.7)

Объединяя (3.3) и (3.7), находим

X = a{Va){x Van. / = (la) (У + г ) , (3.8)

(3.5)

(3.9)

*Под группой понимается набор операций, обладающих тем свойством, что любые две операции, выполненные последовательно, эквивалентны некоторой третьей из того же набора.

Формула (3.9) - это формула Эйнштейна сложения скоростей в случае одномерного релятивистского движения в СТО. Попутно заметим, что для ультрарелятивистского движения, когда и=1-5, Ui=l-5i, 5, 5i < 1, фактор Лоренца ai2(Vfj) д(и)д1 (uj). Это сразу же следует из теоремы сложения скоростей.

Подставляя коэффициент д(и) (3.6) в (3.4) , находим

У--(х-г) +Лх/;--(хЧг)

1+и J I 1 - V

Если /(z), fi (z) - финитные функции с носителем то носитель функ-ции

(3.10)

/ /1 -V \ I 1+и / Д + и \

/(V-Z I будет ZV -Наоборот, носитель /i (у-

\ 1 +и / -,1 -и \ 1 у ;

сожмется и будет L\J-<ь. Таким образом, обратная волна т.е.

волна, идущая против движения системы а;или К, как бы сожмется. Наоборот, прямая волна, идущая вслед движзшхейся системы, растянется (рис. Vni.2).

Мы предполагали, что в системе К носитель функции / и /i один и тот же. Если же предположить, что прямая {х - г) и обратная (/?i(x + f) волны в системе К* имеют один и тот же носитель то в системе К, движущейся относительно Асо скоростью и (движение инерциальных систем в СТО относительно) снова сожмется та волна, которая движется против движения А, т.е. (лг + г), а растянется - идущая по движению, т.е.

(л:+ Y), скорость которой складывается с относительной скоростью движения системы иА (см. рис. VIII.2).

Конечно, волны, т.е. функции/,/i, могут быть не обязательно

финитными, а например, периодическими, состоящими из импульсов, следующих с частотой во времени t в любой системе координат. Тогда в разбегающихся системах координат, которые обмениваются периодическим сигналом, мы будем иметь частоту принятого сигнала vb сближающихся Vx

= oV---. jc = oV-,

причем

vlVvx=2vo (1 -vy \ Vx-Vx = 2vov{\ - vy\ {v<\), (3.12)

Если же перейти к системе координат А (л: , t ) с параметром Ui, то получим

/\-у /1-и/ fXzK .1

x = oV V 77-=V 77-> ix = W--> (3.13)

1+U 1+Ui 1+Уст 1-У(у

где издается формулой сложения скоростей (3.9).

Аналогичным образом в соответствующей системе координат изменяется наблюда-

/I -v /1 +и

емая длина стержня Ix-Iq\/-, /x~ov - [lJ- Этот вывод теоретически

1 +и 1 - и

был подробно рассмотрен в работе [14]. Он экспериментально подтвержден при фотографировании сверхкороткого летящего импульса света.

в частном случае, когда неподвижный излучатель А излучает волну частоты Vq, которая попадает на движущееся от А со скоростью v зеркало

/ на Z будет принята частота - V- Затем, рассматривая зеркало

1 + V

как излучатель частоты движущегося со скоростью v относительно неподвижного приемника В (А и В расположены в одной и той же точке), получаем, что В принимает частоту

/l-v l-v

Vx = V\J -- = Vq -- .

(3.14)

1 +u 1 +i;

Аналогично при приближении зеркала 1 +и

?;=Vo--. (3.14a)

1 - V

формулы (3.14) и (3.14а) получаются из (3.13) при Vi =v. Они характеризуют двойной, радиолокационный эффект Доплере, который полностью эквивалентен двойному акустическому эффекту Доплера при отражении звуковой волны от акустического двигающегося зеркала.

1 -V

Заметим, что величину- можно разбить на множители самым

1 + V

различным образом, например так: \-v /l-v / l- v I I \

-=V -V--= I- (1 -v). (3.15)

1+u l+u 1+u \l+u/

В первом случае оба множителя совершенно одинаковы и говорить можно только об относительном движении излучателя - приемника А, В и зер-

кала Z со скоростью и. Это основа СТО, а множитель V- - формула

1 + V

эффекта Доплера в СТО. Во втором случае удаляющееся зеркало z при-нимате сначала частоту излучателя А v = Vq/{Iv), а. затем движзоцееся зеркало само становится излучателем, посылая на неподвижный прием-

... ч 1 - ник В частоту v =v(l-v)=Vo . Это акустический случай, когда

1 +и

имеется среда и эффект Доплера зависит по отдельности от скорости излучателя и приемника различным образом.

Пусть скорость звука s, а скорость света е. Тогда формулу (3.15) отражения звука от удаляющегося зеркала можно записать

l-v/s 1 - v/s l-vlc

lvls Vl -y/c lvls *

Первый множитель соответствует релятивистскому эффекту Доплера для удаляющегося тела (зеркала), принимающего в среде со скоростью звука 5гзвуковую волну, второй множитель - телу (зеркалу), излучающему звуковую волну.