Можно рассмотреть еще случай, когда излучатель Л и приемник В неподвижны и находятся в одной точке, а движется акустическое зеркало Z, сначала удаляясь от Л, со скоростью v, а затем с такой же скоростью приближаясь. Имеем

Uo=ti\ bio=t%v\ (2.21)

где р = 0 (1 - + У > 1 = 0 (1 + - v). Пусть Z удаляется от А, В на. расстояние а, затратив на это время tz = a/v, затем поворачивает и движется к Л, В. Однако приемник В будет принимать низкочастотный сигнал в течение времени + At = a/v + a/s = a/v а (при = 1), где -время, необходимое звуковой волне, чтобы пройти расстояние а. Аналогично высокочастотный сигнал, отраженный от приближающегося зеркала Z, будет приниматься в течение времени, меньшего - Аг = a/v -a/s = a/v - a. Откуда

7 = WB = (1 +). (2.22)

Следовательно, из (2.21) имеем

+ 7(

(2.23)

Имеем ts = ti т.е. никакого замедления времени в расположенном рядом неподвижном приемнике и излучателе не возникает несмотря на то, что зеркало движется и А, В обмениваются акустическим сигналом.

Если зеркало Z движется в одном направлении со скоростью и и в обратном с W, то при s = 1

tB=a/v -a/sa/v +а, / =а/и - a/s = a/u - а. Отсюда

Г V \ -и

=71 - --- . (2.24)

Следовательно

0*r,)-(--7 - ) = /J. (2.25)

Если в акустическом случае среда анизотропна, т.е. скорость звука от Л к Z равна 5, а от Z к Л 5i,to

, 1 + 1 + иД

= 0 -- , = 0--- . (2.26)

1 + v/sx 1 - v/si

* Аналогичная ситуация возникает и в том случае, когда они обмениваются через зеркало Z электромагнитным сигналом, так как двойной эффект Доплера от дву-жущегося Z в акустике и электродинамике один и тот же [28, 68].

Рассмотрим связь времени hsl А и В для акустически анизотропной среды. (Соотношения (2.21) выполняются как обычно. Однако ~ a/v + a/s t§a/v откуда

r 1 - v/si

r = l(l+72)M--- +72---\ = tl. (2.28)

\ 1 +v/si 1 -v/h

Таким образом, и в (2.25) и в (2.28) = .

Пусть в среде скорость звука в одном направлении - от излучателя А к зеркалу Z будет s+, а в обратном направлении Зеркало удаляется от А на расстояние а со скоростью d, принимая сигнал частоты v = vo(\ -

д, 1 - v/s

v/s+) от А (Ро) и излучает его в сторону В v = -. Затем зеркало Z

приближается к со скоростью и v = Vq - . Пусть rg и - дли-

1 -uls

гельность приема в В низкочастотного и высокочастотного сигналов. Так как t=a/v a/s, г = а/ы - a/s, то

V 1 -u/s

y-tm = ---- (2.29)

и 1

Имеем Pq = /j, Vq = ts . Откуда

tA-tAU= vl {t + tlv ) - r i;o (1 + 7) ( + 7) -

+----) - + -1-(2.30)

\1 -u/sj \

При механическом движении в анизотропной среде изменение масштаба времени не произошло. Правда, в последних задачах сами тела А н В яе двигались, а двигалось только зеркало Z. Однако это ничего не меняет.

Если бы двигалось со скоростями v и и тело В - излучатель сигнала, то мы имели бы

вЧЛ{){р\ tBVo=t(u)i;Au). (2.31)

Поскольку для нерелятивистского движения tv = tu, г для частот

М = , (W) = (2.32)

1 - v/s 1 -u/s

тогда

= а() + а ( ) = (1 + W-) -+ ts (1 -tA.) - (2.33)

= r(l + y/w)-1 [1 + vls + (u/w) (1 -m/s.)] = r.

Если бы по-прежнему двигалось со скоростями иии тело В, а излучателем

сигнала было А, то где

Откуда

1 = ?л = 1 (1 - (1 + /+) = + W ) 1(1 + vls) +

=r. (2.36)

Как В1ЩН0 из (2.30), (2.32) и (2.36), ни в одном из этих cnjiacB масштаб времени шАиВ не меняется.

lvloжнo еще было бы попробовать сверхзвуковое движение иБ {v> о > s)но и это во всех трех случаях не привело бы к изменению масштаба времени. Нужш! электромагнитные волны и соответствующее выражение для эффекта Доплера в виде квадратного корня, которое естественным образом вытекает из СТО. Можно также рассмотреть обмен акустическими и электромагнитными сигналами на разных этапах всего цикла движения, рассмотреть анизотропию пространства. Тогда релятивистский эффект проявит себя и повлияет на масштаб времени.

Конечно, использование акустических волн вместе с электромагнитными может оказаться проблематичным в связи с тем, что электромагнетизм обусловлен фундаментальными силами природы, а зшрутие силы и связанные с ними акустические волны не являются фундаментальными: они порождаются электромагнитными силами. Поэтому для замедления времени можно попытаться обойтись только электромагнитными волнами, например светом, распространяющимся в движущейся со скоростью V прозрачной жидкости (опыт Физо) [73], или светом, движущимся в поле сил гравитации - тоже фундаментальных сил природы [19].

3. ДАЛАМБЕРОВСКИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

xx = ~ tt = 0, (3.1)

Рассмотрим одномерное волновое уравнение

в котором без ограничения общности можно положить с= 1. Оно имеет решение в виде суммы прямой и обратной волн

u(x,t) =fix-t) +/i( + 0. (3.2)

где /, /i - дважды дифференцируемые функции. Рассмотрим линейное преобразование независимых переменных х nt

, X =ф)(;с + vtl t = a(v)(vx +1), (3.3)

где V - вещественная переменная; a(v) - функция и. Находим

и(х t)=u,(x\ t)=f[a(v)(l +/i[a(i;)(l +y)(x + r)]. (3.4)

Если вернуться снова к уравнению их - CUff = О, его решению и={х-сг) + + /i(jc + cr), то необходимо было бы положить f = с?, и = О/с, г= с?. Тогда