- расстояние, которое за время - ti пройдет приемник А. Откуда 01 = (1 - vis)- (ri + als - vt.ls). (2.2)

Волна или сигнал, испущенный В в момент времени г2 = + достигнет приемника Л в момент времени

2 =2 + [а-т{и +и) + и(2 - t2)]h. (2.3)

Откуда

2 = (1 - уА) (2 - als + r(w + v)ls - vts). (2.4)

Находим

0 = 2 -ei=r--у-. (2i)

1 - vis

Следовательно, если излучатель В за время излучения г изучил некоторое число импульсов N, равное

N=VoT, (2.6)

где Vq - частота излучения импульсов в В, то естественно, что приемник А примет все 7Vимпульсов за время приема 9 с некоторой частотой v : N= vB. Поскольку соотношение между г и найдено, а число излученных импульсов равно числу принятых, то находим

. = .0. (2.7)

Если же скорости vhu меняют знак,т.е.Л и5 сближаются,то

=0--J- (2.8)

1 -uls

Формулы (2.7) и (2.8) и определяют изменение частоты как при удалении излучателя и приемника, так и при их сближении. А, вообще говоря, знаки v в (2.7) или (2.8) можно брать любые.

Заметим, что если излучатель В считать неподвижным (w = 0), то удаляющийся приемник А примет частоту v = Vo{\ - vis). Если теперь приемник сам становится излучателем, который удаляется от неподвижного приемника в (В и В совпадают), то примет частоту

v = v[lvlsr=Vo (2.9)

В данном случае тело А (приемник и излучатель) - это просто движущееся со скоростью v зеркало Z, которое лоцируется из неподвижной точки (В, в) акустическим сигналом частоты Vq. Формула (2.9) выражает локационный или двойной эффект Доплера.

Мы заполнили в излучателе В интервал излучения сигнала г некоторым числом импульсов, следующих с частотой Vq- Затем на приемнике А получили другой интервал длительностью в, тоже заполненный импульсами. Тем самым был рассмотрен какой-то периодический процесс с некоторой частотой. Если же такого процесса нет, а есть просто длительность сигнала

в в, характеризуемого финитной функцией /(/) с носителем г, i.e. f(t) отлична от тождественного нуля при tx <t <tx +r, тов5 будет принята тоже финитная функция F{T) с носителем 0:1<Г<1+, причем

F{t)=f{t--у). (2.10)

1 -v/s

Носитель г = supp/при удалении АиВ увеличивается,сигнал растягивается, а при сближении уменьшается - сигнал сжимается. Это все просто и понятно.

Может возникнуть вопрос, что понимать под временем в акустических задачах. В данном случае величина t - независимая переменная, ассоциируемая либо с некоторым периодическим процессом (качание маятника, колебания тел, молекул, частиц и т.п.), либо с непрерывным процессом: движением стрелки часов, ростом или убыванием чего-то, например воды в сосуде, стеарина свечи и т.п. Важно, что время измеряется совершенно идентичным процессом на телах А и В,з. произведение времени на частоту дает некоторое количество импульсов как излученных так и принятых.

Если меняется частота, то меняется и время, а количество импульсов остается неизменным. Изменение интервала времени видно сразу же из изменения величины носителя финитной функции, излученной и принятой. Может ли изменение времени на двух телах, движущемся и покоящемся, сохраниться, если движущееся тело В сначала удаляется от покоящегося тела А со скоростью v, а затем с такой же скоростью приближается к нему? Рассмотрим этот пример подробнее. Будем считать, что АиВ обмениваются акустическим сигналом в покоящейся среде. Без ограничения общности полагаем s = 1. Исследуем относительное изменение интервала времени на Л и 5 тремя следующими путями.

1. Пусть тело А - приемник (Лр) - покоится, а тело В (изл) излучает частоту и удаляется со скоростью и < 1 (т.е. и <s). Имеем

оГв = >5, (2.11)

где 1 = Ро1(\ + w) согласно (1.7); - время, в течение которого Бзл излучает частоту го*, iots - число излученных телом В импульсов, пока оно удаляется от Л; аналогично v - низкая частота, которую принимает Л в течение неизвестного времени f\; vt - число принятых в Л импульсов низкой частоты, равное числу импульсов vqIb, излученных В при удалении.

Затем излучатель В изменит свою скорость на противоположную -w и приближается к приемнику Л то же самое время (путь и скорость одни и те же), излучая частоту vq . При второй половине замкнутого цикла движения имеем

оГв= vt , (2.12)

где ~ о/(1 - Время, в течение которого приемник Л принимал излучения изл, 5 +rjJ.H3 (2.12) находим

Ut\ +г5 =Гв(;о/+о ) = в(1 +W+1 -и)=2Гв = г. (2.13)

Никаких изменений в масштабе времени, протекающего на телах АиВ

(причем сначала В улетело от Л со скоростью и, sl затем вернулось), не произошло. Это, конечно, в том случае, если А и В обменивались акустическим сигналом или волной, распространяющейся в среде.

2. Пусть W = 0. Тело А находится на месте и излучает, а В удаляется сначала со скоростью и, принимая сигнал А, а затем с такой же скоростью приближается к А. Понятно, что сигнал низкой частоты v = Vo(l - v) В будет принимать тогда, когда В будет удаляться от А, т.е. в течение времени tQ. Точно такое же время ?в = = В будет приближаться к А и принимать высокую частоту и = Vo( + ). Имеем

ioA = в, Ja = vfB (2.14)

Откуда находим

t\tA + +7о) = в(1 - у+ 1 +у)=2Гв = г, (2.15)

Масштаб, т.е, скорость течения времени т А и В, опять оказался без изменений.

3. Пусть А покоится и принимает сигнал от В, В излучает и удаляется от А со скоростью и, затем поворачивает и приближается к Л со скоростью и 1. Тогда

во=Ч ), воЧгО, (2.16)

где v(u) = (1 + иу\ vXui) = (l -Wi) Пусть ts = yt, где у - пока что неизвестная величина, равная отношению времени, затраченного В на обратный путь к Л, ко времени, затраченному на прямой путь при удалении от А. Тогда

tB +Гв-Гв(1 +7). (2.17)

Находим из (2.16)

р(и) V iuy) (2.18)

= ri(l+7)-4l+7(l-i)].

Чтобы определить неизвестную величину 7, будем считать, что в этом же цикле движения тела В будет излучать покоящееся тело Л. Тогда

= ?( ), й 0 = tlXu 1), (2 19)

где - vq{\ - и), v(ui) = Vq{\ +1/1). Конечно, по-прежнему тело В принимает низкую частоту, когда удаляется от А за время Г, высокую - когда приближается за время г. Поскольку = 7Г5,то из (2.19) находим

u-tu t),=v-tim?Bhu,)]-

= 1(1 +7)-4l -и 7(1 и,)].

Приравнивая (2.18) и (2.20), находим 7=м/м1.При y-u/ux имеем = , как это и должно быть.

Впрочем, в нерелятивистском акустическом случае, когда размеры отрезка не зависят от скорости, выражение 7 = и/и можно было предвидеть сразу, так как fu - B i. В релятивистском случае, рассмотренном ниже, когда тела обмениваются электромагнитным сигналом, выражение для 7 будет иметь более сложный вид.