F(t) = f и(х, y)exp(-ixt - p\x\ )dx =

= Z аггФп(у) fjxpiix -ixt-p\ x\ )dx (5.4)

и определяя ее максимумы с достаточной точностью, мы находим 5, т.е. Х = 1 - собственные значения задачи ШЛ.

Следует заметить, что собственные значения можно найти, имея только горизонтальный у = у г достаточно протяженный разрез поля. Это обстоятельство представляет удобство при измерениях звукового поля в реальном океане с движущегося корабля. Конечно, если его прямолинейная трасса движения вдоль координаты х не проходит через эпицентр источ-ника, тогда вместо exp(ix) следует взять величину exp(i\/x + Го\ где го - расстояние от источника до прямой х.

Таким образом, для вьиисления собственнных значений необходим горизонтальный разрез поля и(х, у) достаточной протяженности. Чтобы исключить возможность попадания на нуль некоторой собственной функции Фп(у), можно взять F(t) не для самого поля и(х, у), а для интеграла и(х) =

= / и(х, у)и(х, y)dy. Однако в этом случае уже необходимо знать поле о

в достаточно большом прямоугольнике -Л < Xi < Л, О < у < п. Чтобы найти Фп(у) и Л , необходимо иметь вертикальную зависимость поля. Тогда, найдя определяем для каждого максимума F (r, у), t = = вертикальную зависимость, т.е. находим отдельно величины ={д 1 (у) -

члены суммы нормальных волн. Осуществляя нормировку / ф (y)dy = 1,

я о

Т.е. вьиисляя / (y)dy = а, находим величины характеризующие

источник. После этого открьюается возможность вьиислить поле и(х, у) в виде суммы N нормальных волн так, как оно бьшо представлено в самом начале. Проверку же самих собственных значений и собственных функций можно провести, решая задачу ШЛ, если при этом известен коэффициент к(у), характеризующий неоднородную среду. Заметим, что в рассмотренном методе для вычисления i (y), д функция к(у) нам вообще не потребовалась.

Конечно, расхождение величин, характеризующих заданное поле и величин, вычисленных в виде суммы нормальных волн, будут иметь место. Ошибка возможна вследствие конечности интервала интегрирования, шага интегрирования, неточного поиска максимумов функции F(t) и других обстоятельств. Но величина ошибки может быть уменьшена.

Если в волноводе имеется рассеивающая граница или неоднородная по трассе среда, то применение метода также возможно. Однако функции п(у) уже не будут собственными функциями задачи ШЛ, так же как и X = 1 не будут собственными значениями. Наконец, в том случае, когда в волноводе имеются волны обратного направления Sb i exp(-b[: ), функция F(r) будет иметь максимумы не только при г > О, но и при г < 0.

При условии, что не является нулем собственной функции \ ,0).

6. ГОЛОГРАФИЧЕСКА ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦМ НА СЕТОЧНЫХ ОТРЕЗКА5С

Лучевые представления и представления о плоских волнах более адекватны при рассмотрении прямых и обратных волновых задач в однородных средах. Среди обратных задач наиболее важным является класс голографических задач, когда двумерные поля со всеми деталями, источниками, предметами восстанавливаются на основании волновой информации, заданной (записанной) на отрезке (при цифровом восстановлении - на сеточном отрезке), а трехмерные оптические и акустические копии предметов -по информации на сеточной двумерной области [40, 41, 47, 109]. Например, в случае трехмерных слоистых волноводов и горизонтального сеточного отрезка возможно определить направление на источник, а если он находится в зоне Френеля, то и расстояние по горизонтали до него при условии, что разброс горизонтальных волновых чисел нормальных мод, распространяющихся в канале, незначителен.

Значительно более сложной является проблема голографии при наличии фокусирующих систем [64], неоднородных сред перед сеточным отрезком ограниченной апертуры, не всегда перекрьюающий всю ширину волновода. Как и в случае голографии в фокусирующих системах здесь большое значение имеет расширение спектра пространственных и временных частот -использование полихроматического восстановления источника, особенно эффективного при наличии как детерминированного сигнала, так и случайных помех [31]. Здесь же полностью проявляется удобство визуального наблюдения голографического изображения. Если голограмма восстанавливается в лучевом приближении и лучей достаточно много, то нельзя избежать всплеска поля в области каустики, периодического повторения вдоль волновода точек пересечения лучей и соответствующих им ложных максимумов поля. В волновом приближении, если даже оно основано на конечно-разностной, сеточной аппроксимации поля, каустики исчезают. Периодического повторения максимумов тоже не наблюдается. На визуализированной картине волнового поля виден только один наиболее высокий, вьщеляющийся максимум, расположенный вблизи источника, создающего первоначальное поле и голограмму на сеточном отрезке. Можно сказать, что лучевая обработка голограмм позволяетт как бы восстановить лучевой скелет поля и соответствующий скелет предметов. В то же время волновая обработка восстанавливает само поле и сами предметы, источники в нем. Таким, образно говоря, является отличие между лучевой и волновой обработкой в фокусирующих системах и в волноводах. В последнем случае аналогия вполне понятна, так как волновод сам является фокусирующей системой [84].

Что касается объема операций для одной частоты / и пространственного угла to, то для ЯС он равен

q = kfl, (6.1)

где коэффициент к зависит от длины трассы. Скорость вьиисления полного поля при этом

s-Mq-\ (6.2)

где коэффициент М зависит от быстродействия ЭВМ. Так, например, для 164

явной вещественной схемы БЭСМ-6 проходит за 1 с 70 тысяч узлов сеточного волновода. Это при N-2 тысяч узлов по вертикали волновода (Я -глубина; Я = 6 км, /= 1,2 кГц, io = 0,1 рад) и 10 * узлов для трассы L ~ - 500 км {h = 0,01 Я, L/h 5 10 U Ю) дает время (2.10- 10)/ 1(1 10 *) 3 10 с ~ 5 мин. Вычисления полностью подтвердили полученную оценку.

В трехмерном волноводе, чтобы избежать восстановления всего трехмерного волнового поля перед некоторой ограниченной сеточной областью, состоящей из сеточных отрезков, можно поступить следующим образом. Разбиваем в горизонтальной плоскости область на ряд подобластей, в каждой из которых, используя обратное дискретное преобразование Фурье, выделяем поле, приходящее на вертикальные сеточные отрезки (см. рис. VII.1). Затем в каждой из р областей, используя МКР и ЯС, восстанавливаем поле. Тем самым задача о нахождении максимума в каждом секторе перед двумерной голограммой решается самостоятельно. Причем максимум возникает не только тогда, когда мы прямо упремся в источники в секторе р (при наличии сетки с ячейкой I X h это вообще невозможно), но и тогда, когда мы пройдем в некоторых секторах Рп±\, Рп вблизи него, решая двумерные задачи. Имеем объем вычислений

Q = pq. (6.3)

Если р = 10, то для рассмотренного примера время решения трехмерной голографической задачи на БЭСМ-6 будет 500 мин.

Необходимость при наличии шума целого ряда частотных и временных реализаций еще увеличивает время вычисления таким образом, чтобы полезное детерминированное поле увеличивалось алгебраически пропорционально числу реализации Af, а случайное - пропорционально т.е. геометрически [8]. Понятно, что подобные задачи для БЭСМ-6 (10 операций в час) уже недоступны. Однако если для мультигармони-ческого поля воспользоваться более современной ЭВМ, то можно вьшолнить распараллеливание как по частоте, так и по секторам р. Нелишним может оказаться и распараллеливание ЯС. Все это может ускорить процесс трехмерной голографической цифровой многочастотной обработки [62].

7. ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ И ЛУЧЕВАЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ОБРАБОТКА ПРИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИНФОРМАЦИИ НА ГОЛОГРАММЕ

В однородном двумерном волноводе все нормальные волны являются суммой плоских волн. Фронты таких волн тоже плоские. Поэтому, если на некотором, являющемся небольшой частью пшрины волновода апер-турно-сеточном отрезке волновода заданы углы прихода лучей, то зная времена (относительные) прихода каждого луча, т.е. фазу соответствующей ему плоской волны, можно полностью восстановить эту плоскую волну и ее поле на сеточном отрезке. Затем, используя прямолинейность фронтов, можно продолжить поле каждой плоской волны на всю ширину волновода. Сумма волн дает поле уже на всей ширине волновода. После