кальными свойствами и связывающих волновое поле всего в нескольких соседних узлах. Локальность явных схем МКР обеспечивает простой и наглядный путь к распараллеливанию вычисления: поле можно вычислять на всех узлах нового волнового фронта независимо.

4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФАЗЫ ПО АМПЛИТУДЕ

НА ВЕРТИКАЛЬНОМ СЕТОЧНОМ ОТРЕЗКЕ В ВОЛНОВОДЕ

В акустике, как и в оптике, голографии, радиофизике, имеет большое значение восстановление фазы по амплитуде. Так как фаза и амплитуда для гармонического сигнала связаны одним уравнением (УГ, ПУ, ПУГ), то в принципе эта связь должна позволять находить одну функцию, если известна другая. Однако здесь, конечно, есть свои сложности, так как амплитуда и фаза в общем случае удовлетворяют нелинейным уравнениям. В некоторых случаях уравнения можно линеаризовать и решить. Наиболее просто это сделать, если пучок волн является достаточно узким и описывается ПУ

likvx + Vyy + кер(у)и = 0. (4.1) Полагая v = рехр(/х),где р, х - вещественные функции, находим

likiPx-PyXx) + (Pyy-liPyXy ipXyy-pxl)-k€ip(y)p = 0. (4.2) Отделяя мнимую часть, имеем

1кр+2руХу РХуу 0. (4.3)

Это линейное уравнение в обыкновенных производных для функции Х(х, у) при фиксированном х. Для волновода фиксированное значение координат X означает, что рассматривается его нормальное сечение или что имеется вертикальный отрезок, в разностном приближении - .сеточный отрезок. Зная ру. и ру легко находим

Х{х. У) = h- hkp )xdylp ] dy + x(, 0) + Xy(x, 0), (4.4)

0 0

где \{x, 0) и \y{x, 0) - значения фазы и ее производной при 3; = 0. Заметим, что для нахождения х{Ху у) нам необходимо знать амплитудыр(л:, з) при фиксированном jc на вертикальной апертуре и значение ее производной Рх{х, у) вдоль координат х. Если мы в некоторых точках л:, x±h имеем несколько вертикальных сеточных отрезков, то вычислить Рх{х, у) не представляет трудностей.

Если мы сразу возьмем разностный аналог ПУ по у

likvx L] yV{x,y)yke{y)v = 0 (4.5) и воспользуемся подстановкой v = рехр(/х), то получим уравнение 2лк(рх + РХ) + {piy + Оехр/[х(У / О - хСу)] +2р(у)/ +

+ />(у - Оехр/ [хСу - О - Х(у)]11Ьк€Р=0. (4.6) Отделяя мнимую часть, имеем

2кРх + Г {Р{у + Osin[xO + О - Xiy)] -Piy-l) sin[xCy - О - ХС>)]}= 0.

(4.7)

Предположим, что величина Рх нам известна. Пусть F{y + О = Р(у Osin [хО + О - Х(у)]. Тогда (4.7) имеет вид

F{yl)-F{y-1)= -IklPx = fiy). (4.8)

Решить это линейное уравнение и найти F(y) не представляет труда. Имеем F{21) = ДО + ДО), F(40 = ДЗ/) + Fill) и т.д. Найдя Fiy) и зная р(у), решаем линейное уравнение

ХСу + О - Х(У) = arcsin [F(y + l)lpiy + /)] (4.9)

с известной правой частью. Все это было выполнено на ЭВМ М.Н. Жаглиной. Затем фаза, восстановленная по амплитуде, бьша использована при решении обратных голографических задач в волноводе (рис. УП.2-УП.4).

Параболическое приближение может оказаться удовлетворительным не только тогда, когда направление распространяющихся волн близко к оси волновода, а вообще если пучок достаточно узок, т.е. если Vyy + {kiy) -- k)v < 5и, где 5 - малая величина. Поэтому, зная распределение амплитуды р и ее производной р на вертикальном сеточном отрезке и зная функцию ip(y), характеризующую неоднородность среды по глубине, можно выделить в узком угле 5(to - Ь < д < -q + 5) поле волн pg в виде пучка, направление распространения которого находится вблизи заданного угла 10. Откуда sinto = оДо. Пусть на сеточном отрезке к СУ)тах-Тогда полагаем к = (А:. г к])12 - к1ъ\п(уш <У<Утх)-Можно считать, что 2к1 = /гш + тах* оэтому к = A:ocosio- После этого рассматриваем уравнение

+ Vyy [kiy)-k]v = О, (4.10)

из которого находим фазу выбранного узкого пучка волн.

Действуя таким путем, можно блокировать, исключить из рассмотрения те пространственные компоненты поля, которые не являются существенными для решения обратных голографических задач, как, например, низкие пространственные частоты.

Наконец заметим, что если мы имеем трехмерное ПУ likv + Vyy + vx = О, то для восстановления фазы приходим к уравнению

2кр + 2рхХх + 2руХу PiXxx + Хуу) = 0. (4.11)

5. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ СЕТОЧНЫЕ ОТРЕЗКИ

И МЕТОД НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ

Вычисления или измерения поля в волноводе дают просто набор чисел, количество которых связано либо с квантованием непрерьюного сигнала по координатам (и по времени - в случае негармоничности), либо соответствует количеству узлов сетки. Представление поля в виде суммы нормальных волн позволяет значительно упорядочить этот численный массив. Конечно, при отклонении от слоистости, которое часто наблюдается на практике, никакое уточнение расчета поля МНВ не позволяет приблизить модельную задачу к реальной. Поэтому при более широком классе задач избыточная точность метода, пригодного для решения более узкого класса задач, ничего не дает. В связи с подобными ситуациями и говорят, что

Рис.У11.2. Поле б-источника в волноводе