области фокусировки, зоны тени, каустики. Видя их одновременно, можно сравнивать эти объекты, рассматривать их зависимость от параметров задачи, от местоположения и направленности излзд1ателя, от гидрологии, рельефа дна и волнения на поверхности, от частоты и других физических и геометрических параметров. Например, выводя какой-нибудь разрез поля, сразу можно видеть его окрестность. Понятно, что его сильная из-резанность означает, что осциллирующий характер волнового поля наблюдается и в окрестности разреза. Об этом можно получить ясное представление, только вычисляя и выводя на экран полное поле. Во-вторых, полное поле необходимо при решении голографическим методом обратных задач. Оно позволяет увидеть максимумы интенсивности именно в тех местах, где находится предполагаемый локализованный источник волн, и отличить их от распределенных источников: шумов моря и др. В сущности говоря, получение полной объемной картины волнового поля со всеми деталями и объектами на основании исходной информации, заданной на плоскости (плоскость точечного источника, плоскость антенны и т.п.) - это типичная голографическая задача [23, 40, 41, 90]. Неважно, как это реализуется: математически (преобразование Фурье, МКР) или аппаратур-но - путем освещения голограммы когерентным световым или звуковым лучом. Важно то, что если обьгшо голография, как правило, позволяет восстанавливать поля в однородных средах (иногда в средах используются фокусирующие системы [64]), то голография в волноводе - это восстановление поля в сложной неоднородной среде. Понятно, что реализовать аппаратурно сложную неоднородную среду и осуществить в ней распространение когерентных гармонических волн - весьма трудная задача. Математически это тоже не просто, так как в неоднородной среде преобразование Фурье становится неадекватным. Подобную задачу просто и эффективно удается решить только с помощью МКР.

И наконец, полное поле в сложном волноводе имеет не только познавательный характер. Его картина с хребтами (каустики), пиками, провалами (области тени) имеет определенный научно-экстетический аспект. Как в физике, так и в математике красота в вычислительных моделях часто бывает фактором, сопутствующим исследованию задачи и облегчающим такое исследование.

В ряде задач необходимо от моделирования переходить к обработке. Подстановка экспериментальных данных в сеточное уравнение - вполне реальное дело. Визуализатор поля или графический дисплей с полем на экране - это готовый прибор для решения прямых и обратных задач, задач акустического видения в океане (или в любом другом волноводе). На нем можно проводить различные статистические исследования, меняя по слзд1айному закону местоположение излучателя, приемника, свойства среды и границ. Комплекс конечно-разностных программ с графическим выходом на экран дисплея можно все время пополнять и совершенствовать. Графический дисплей - визуализатор поля можно применять для исследования полей в радиотехнических и радиофизических волноводах, сейсмических и волоконно-оптических, нелинейных волноводах, стыкующихся волноводах различной размерности (планарных и цилиндрических) и др.

Непосредственное решение волнового уравнения и уравнения Гельмголь-

ца с помощью МКР дает само волновое поле. Поле всегда первично, а способы его описания - диаграммы направленности, лучи, нормальные волны - всегда вторичны. Конечные разности - тоже приближенный дискретный способ описания волн. Во всех вычислительных задачах дискретное переходит в непрерывное тогда, когда оно перестает заметным образом зависеть от параметра дискретизации - шага сетки. На экране дисплея это виднее всего. Точность высвечивания и четкость воспроизведения волновых полей лучше всего позволяют оценить необходимую точность.

МКР и явные схемы позволяют вычислить поле в каждом узле. Благодаря этому реализуется хорошо известный принцип локальной причинности при распространении волн. Он в каком-то смысле соответствует принципу Гюйгенса, согласно которому математическая модель волнового распространения состоит в том, что каждая точка среды (каждый узел, если в пространстве введена дискретная группа - сетка) является источником волны. Этот принцип физически обеспечивает простоту программ, реализующих МКР. В отличие от нарастающей сложности нелокальных теорий и теоретических формул, пытающихся учесть сразу влияние на поле всех областей волновода, явные разностные схемы значительно проще и надежнее, так как они работают локально.

4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ И ИСКУССТВЕННЫХ ВОЛНОВОДОВ

В природных условиях образуются различные волноводы. Имеется ионосферный волновод для радиоволн. Существует два атмосферных акустических волновода, характеризуемых минимальным значением скорости звука на высоте около 10 и 70 км. На границе коры и мантии существует подземный, еще малоизученный волновод Гутенберга для сейсмических волн, характеризуемый минимумом скорости поперечных волн, возникающим в связи с температурным размягчением пород. Мало исследованы и волноводы для световых волн в атмосфере, которые иногда передают изображения предметов на десятки и сотни километров. Вблизи холодной земли или воды образуется приповерхностный звуковой волновод, передающий речь и музыку на многие километры. В квантовой механике прохождение электрического тока в металле описывается как распространение электронных волн по сеточным коридорам между колеблющимися атомами или по волноводам. Рассеяние и поглощение волн происходит из-за нарушения порядка в расположении колеблющихся атомов и создает электрическое сопротивление металлов.

Среди искусственных волноводов особенно большим многообразием отличаются волоконно-оптические линии связи (ВОЛС). Здесь используются как трехмерные, так и двумерные, так называемые планарные, волноводы; цилиндрические волноводы с параболическим профилем показателя преломления, с усеченным параболическим профилем, со ступенчатым профилем; волноводы, характеризуемые показателем преломления в виде однородной функции: {ах,Ьу) = aip(x,у); ВОЛС с некруглым сечением; с показателем преломления в виде параболического, эллиптического, гиперболического профиля.

Для расчетов таких волноводов применяются ЛМ, МНВ, асимптотические методы [42, 95]. Реже применяется МКР [91, 92]. Источники волн иногда задаются в виде коллиматорного пучка, идущего под определенным углом. Возможно диффузное возбуждение волн, когда каждый элемент площадки нормального сечения ВОЛС излучает во всех направлениях.

ВОЛС бывают нерегулярными с непрерывно и ступенчато изменяющимися профилями. В ВОЛС учитьюается уширение импульсного света, нелинейные явления, потери, возникающие благодаря рассеянию в среде и на регулярностях границ канала, затухание вследствие волнового эффекта, характеризуемого вытекающими волнами (надбарьерное просачивание) . В воле большое значение имеет пространственно-установившийся режим.

Различные механизмы потерь (главный из них - рэлеевское рассеяние) важно уметь рассчитать. Не менее важно знать величину расплывания импульса в ВОЛС, т.е. его дисперсию. Один вид дисперсии - это дисперсия модовая, когда сигнал возбуждает несколько мод, идущих с разной групповой скоростью, или в лучевом представлении сигнал идет по разным путям. Другая дисперсия - это внутримодовая, хроматическая, когда скорость зависит от частоты (чем выше частота, тем меньше скорость).

В маломодовых сверхпротяженных оптических волноводах длиной 1-100 км МКР имеет значительные преимущества перед ЛМ, МНВ при расчете полей. Расчет поля в ВОЛС необходимым при излучении нелинейных явлений, солитонов, динамики временной огибающей в виде рисунков полного поля, эффектов уширения импульсов в световодах со ступенчатым профилем и его сужение в градиентах световода. Очень ценным является то, что МКР позволяет учесть в ВОЛС самые различные эффекты: нелинейность, затухание, нерегулярность и др. Особый интерес представляет фокусировка волн в нелинейных волноводах [66].

Рассмотрим приближенную оценку числа узлов сетки при применении МКР для расчета ВОЛС. Пусть, например, оптический световод (т.е. сам канал) имеет ширину 1 мм, а длина световой волны Х= 10 мм. Тогда общее число незатухающих мод к =10, Пусть угол t,внутри которого распространяются цикличные моды, равен г>=уб] Тогда к\/е=о- Шаг

сетки вдоль оси волновода будет h =-. Общее число узлов сетки, при

котором время счета займет 4-5 мин, положим равным 2-10 (БЭСМ-6 проходит за 1с 7 10 узлов). Тогда для десяти учтенных мод Nq = взяв 20 узлов (N= 2Nq = 20) по нормальному сечениию волновода, имеем е= 10 , h = 10 мм, L = 10 h = 10 км. Для одномодового волновода (-0 = 1, 0 -23) имеем е = 10 Л = 10 мм, L = 10 Л = 10км. Световоды такой длины начинают широко использоваться в технике.

Конечно, малое число узлов (о 5-f 10) на нормальном сечении внесет ошибку. Понятно, что увеличение узлов даст соответствующее уменьшение длины трассы при прежнем времени счета. Если же в ВОЛС рассмотреть световой импульс, то для расчета поля МКР на ЭВМ среднего быстродействия типа БЭСМ-6 длину световода придется уменьшить до 0,1-10 км. Но даже в этом cny4diQ можно изучать сжатие и расширение импульса в ВОЛС с различными нерегулярностями, нелинейностями, изгибами под