Введем параметры а и (3, связанные с / и И: Г = А:3, /i = j3 = kl- = етг-. Имеем

к = к (1-2); = 1у/Т к-к. (].14)

В решении (1.9) дифференциально-разностного уравнения (h -> 0) под знаком суммы имеется множитель Q\p(-ixk y/asmml); в решении разностного (1.12): exp(~ixml/h) = exp(-ixmlк у/а). Приближенное равенство этих экспоненциальных множителей при ml < l(m/N< IN = n) следует из приближенного равенства sinm/ ml, ml < \ Рассмотрим связь ряда (1.5) с решением (1.3) дифференциального уравнения (1.1). При сделанных предположениях т < По, По/ко =tgVQ. Под знак суммы (1.5) входит экспоненциальный множитель exp(-/mx o/) Поскольку в (1.9) длямалыхт/ имеем ехр [-/л:т/(к/)], где / = 7г/(2по), к к, то для полного соответствия дифференциальной и дифференциально-разностной задачи необходимо изменить масштаб расстояния по X и положить

Хц,иф =разн/2. (1.15)

к аналогичному соотношению можно прийти, если просто вычислить производные

(к -к -п)\ = -2 1, (1.16а)

( . . . т \ 2

(1.166)

Для того чтобы (1.16а) и (1.166) бьши равны, необходимо положить пх =1/1 =По/(тг12). Откуда следует (1.15).

Разностное уравнение (1.12) является уравнением гиперболического типа. Оно позволяет вести устойчивый счет, перебирая сеточные отрезки не только вдоль оси волновода х, но и в направлении оси у. В сеточной области его характеристики, соединяющие семейства узлов, пересекаются под прямым углом и составляют угол ± я/4 с сеточными отрезками, т.е. с семействами эквидистантно расположенных узлов, ориентированных вдоль оси волновода и вдоль его нормального сечения. Но поскольку I Ф h, 10 на плоскости х, у углы между характеристиками разностного сеточного уравнения (1.12) будут другими. Используя явную схему для решения (1.12), можно проводить вычисления не только вдоль оси волновода, но и в направлении его нормального сечения. Правда, в этом случае краевых условий уже нет: область влияния - треугольная область с размерами, определенными горизонтальным сеточным отрезком. Так, например, если поле задано на двух соседних горизонтальных слоях волновода у = а, у = 0-1 при -Vok <х< VqK то, используя (1.12), можно проводить вычисления в треугольной сеточной области с основанием на заданных горизонтальных слоях и с вершиной треугольника, которая может находиться либо внутри волновода, либо на его границе. Высота, опущенная с средины основания к вершине, - вертикальный сеточный отрезок. Соответственно рассмотренной алгоритмической процедуре можно получить

QjiQ на вертикальном отрезке в волноводе л: = О, -vl <,v < v/ при условии, qxo OHO задано на горизонтальном отрезке[45].

Пусть волновод заполнен неоднородной средой. Тогда, вводя сетку и используя краевые условия на границах волновода, можно вычислить волновое поле для узких пучков волн. Воспользуемся схемой КН. В этой задаче волновод (или среда) считается однородным. Схема КН устойчива для ПУГ при любых / и при kh> \ . Для ПУ область устойадвости схе-,vibi КН не имеет ограничений: схема устойчива для kh > О, т.е. для любых lh:l>0,h>0.

Рассмотрим следующий разностной аналог ПУ:

(2ik/2h) [v(x + h,y) - v(x-h, у)] + [v(x, у + /)-v(x, у - I) - 2v(x, y)ll + kev = 0. (1.17)

Перейдем от ЯС (1.17) к схеме КН. Для этого необходимо взять среднее значение двух последних членов в (1.17) на слоях х = х ±h соответственно. Пусть = {х, у), Следуя методу замороженных коэффициентов, полагаем = const. Имеем характеристическое уравнение для КН

(-2k/h) sinKh + (2cos /) cos/сЛ + (кес - 2 ) cos/c/г = О, (1.18)

igKh = h/k [cosnl/l + (ке -2/1/2)].

Из характеристического уравнения (1.18) следует, что величины Kh для любых п, /, /г, к, 6, <рс всегда вещественны. Схема КН всегда устойчива ддяПУ.

Теперь рассмотрим явную схему (1.17). Пусть согласно методу замороженных коэффициентов = 1. Если положить -2 + /:б = О и k/ho = 1 , то ho = kl = 21{ке). Тогда приходим снова к уравнению (1.12). Положим 6 < е < 6. Для ЯС имеем

{-2k/h) sin/сЛ - (4 ) sm\nll2) + ке = О, или

(-2k/h) SinKh-2/1 + А:б + (2 ) cos / = 0. (1.19)

Пусть кР = 2/б, тогда

(-ho/h) SinKh - 1 +/б/2 + cos / = 0. (1.20)

Возьмем шаг h из условия

-ho/h-l-eje = -1, (1.21)

где ho/h = eje. При этих условиях по явной схеме можно устойчиво передвигаться в вертикальном направлении, т.е. вдоль оси у, перпендикулярно границам волновода. Неоднородность среды, т.е. когда = {х, у), не нарушает при этом устойчивости ЯС. Что касается движения по разностной схеме КН вдоль границ волновода, то для ее устойчивости никаких ограничений на шаги сетки Л, / нет. Таким образом, в неоднородном неслоистом волноводе вдоль оси можно проводить вычисления поля на любой сетке, используя схему КН, а в вертикальном направлении для вычисления поля в соответствующих 5 треугольной области необходимо взять сетку с шагами /, /г, обеспечивающим устойчивость ЯС.

2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОЙ ЗАДАЧИ В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Рассмотрим дифференциально-разностный аналог ПУ на плоскости х,у с сеткой по у: у = у = vl, v = 0,± I v(x, у) = vipc),

2 :и i -21;] =0, (0) = /Ov) = v, (2.1)

mef(y) = a= f F(t)exp(ivt)dt; F(t) = - 2 ехр(-фГ) ,1, - заданные

-я 27Г д

величины, представленные интегралом Фурье с ядром ехр (ivt). Находим решение

( 4 г

v(x,y) = v(x) = f F(t)exp{ivt + -- sin- x

- 7Г

I 2ikr 2

dt. (2.2)

Коэффициенты и функция /(у) известны. Например, они могут быть получены либо в численном, либо в реальном эксперименте, когда в области х > О расположены источники волн, излучающие волну с цилиндрическим фронтом. Пусть/(у) характеризует амплитуду и фазу волны, излученной источником, находящимся в точке х = у = 0. Координата у изменяется в пределах -аКуКа, так что /(у) - финитная функция. Тогда интеграл (2.2) будет иметь максимум по модулю в окрестности точки х = R, у = О при условии, что этот максимум находится в зоне Френеля R < Viak, -а < у < а. Непосредственные вычисления интеграла (2.2) подтверждают этот вывод. Вычислять интеграл (2.2) непосредственно - весьма трудоемкая работа. Гораздо эффективнее воспользоваться разностным аналогом ПУ и выполнять поиски максимума (или максимумов, если источников несколько) на сетке в области зоны Френеля. Такой сеточный метод поиска максимума наиболее оптимален тогда, когда заданы численно в модельных или реальных экспериментах.

При математическом моделировании задачу можно упростить. Воспользуемся известным приемом [30], расширим интервал -а <у < д на всю ось - > <><< так, чтобы все интегралы вычислялись аналитически и решение задачи имело вид простых формул.

Пусть

/Су) = [exp(-/V( -Rf Qxp(-ikR - ikylR), (2.2a)

В квадратных скобках дано выражение расходящейся волны с цилиндрическим фронтом. Видно, что при л: = О ее фронт идет в направлении +х. Нам же надо искать волну, идущую в направлении оси - х, т.е. к источнику х = Поэтому либо надо взять комплексно-сопряженное ПУ - likv + + Vyy = О с условием v \ = exp(iky/2R), либо обычное ПУ likVx + + Vyy = О, но с комплексно-сопряженным условием

v\x = ехр (-iky/2R), (2.3)

т.е. в f(y) необходимо заменить i на -i: f(y) -f(y). Считаем расстояние/ достаточно большим и используем приближенное разложение /(у) в виде (2.2а).

Пусть начальное значение v \х = f(y) задано не только на отрезке