Если же не отбрасьюать Vxx, то можно взять ПУГ Vxx + 2ikVx + Vyy + -(kixy) -A:)K=0. Умножив уравнение на F, затем интегрируем по D, и, взяв мнимую часть, получим равенство

/ \mVVx\Uy + / k\V\ ?dy = 0. (5.6)

iy {у)

В сущности, если и {х,у) V(x,y)exp{ikx), то (5.6) сразу следует из (5.26). Тогда

w = (F+/К)ехр(/х), ww =FF+/A:K2, Imw = = ImFF + k\V\.

Полученные соотношения хорошо известны при рассмотрении законов сохранения потоков энергии в волноводах в случае дифференциальных волновых задач. Для сеточных волноводов тоже можно найти соответствующие законы сохранения потоков энергии. В математическом смысле они означают постоянство некоторых конечных сумм на сетке в волноводе, заменяющих интегральные соотношения для сплошной среды. Постоянство сумм указьюает на известное свойство консервативности данных схем. Это обстоятельство может служить дополнительным контролем правильности работы программы. Хотя, конечно, устойчивость разностной схемы и сохранения потоков энергии в сеточном волноводе совершенно не связанные вещи. Оказьшается, что определенные сеточные суммы могут сохраняться и для неустойчивых схем.

При рассмотрении дифференциальных задач потребовалась формула интегрирования по частям. В разностных задачах будем использовать следующую формулу суммирования по частям:

as(bs -bi) = aNbN-aibi- i: (s+i-JVi- {-Ъ

1 s-\

Вначале рассмотрим в волноводе О <7Г дифференциально-разностный аналог ПУГ

[(.+ 1 - V)-{V,-V, ,)]lh {2ikl2h){V,, - F, i) + + [к {xy)-k]V, + Vyy=0, (5.8)

V(y) = V(x,yy, X = uh, V = 0,±1.

Выбираем в волноводе прямоугольную область D(a<v < ,0 <у <я). Умножаем (5.8) на сопряженную величину F (у), интегрируем по 3; от О до 7Г и суммируем по = s от 5 до s =/3. При этом используем формулу (5.1), в которой полагаем as = Vj(v = s), bg = Vi Fi). Получаем

2 [I as(bs,-bi)\dy + f ikh[V,, - V, ,]V,dy +

v,s 0 0

4- 7 (k\(xy)-k)VyyV,-}(V , F,)(F i -F,)] dy = 0. (5.9) .0 0

Воспользуемся следующим равенством:

Re 2 VAV.i - = Re(P,F;v-i - V,Vo). (5.10)

£ro легко проверить для любых комплексных величин Kq... Кд. Взяв мнимую часть равенства (5.9), имеем

/ [ImVAV.i - V) + khReVV, ,ndy=0. (5.11)

Поскольку ImVV = О, то выражение (5.11) можно упростить. Получаем окончательно, что при вычислении поля в сеточном волноводе в соответствии с дифференциально-разностным аналогом ПУГ будет инвариантна,т.е. независима от i;, величина

Im/ [V,{y)V,,(y) + ikhV,(y)V, ,(y)]dy. (5.12)

При этом шаг h вдоль оси волновода х = vh может быть любым, даже таким, когда явная схема дпя решения (5.8) неустойчива. Переходя к сетке с шагом, также любым по оси у, интеграл в (5.12) просто надо заменить на соответствующую сумму.

Если в сеточном волноводе поле представлено в виде суммы распространяющихся нормальных волн

V,{y) = 2 ехр(/ Л)(х = 1.Л), (5.13)

то согласно (1.12) инвариантной будет величина

Л-Чт [2 I а lexp (/ h) + ikh к 2 ехр (-/? Л)] =

= \an\sm{lh + A:kJcos(? /z). (5.14)

Величина (5.14) действительно не зависит от т.е. от х. При И О она переходит в соответствующее выражение для потоков энергии в обычном (не сеточном) волноводе в параболическом приближении, которое шедует из (5,6) при vh = х. Если сеточный волновод является нерегулярным, т.е. изменяется его ширина и коэффициент в УГ к(х, у) зависит от X, то представляя в любом сечении поле в виде суммы прямых и обратных волн и подставляя эту сумму в (5.12), получаем конкретный вид инвариантной величины, соответствующий сохранению потоков энергии в сеточном волноводе в приближении ПУ.

Если в (5.8) член {к(х, у) - k)V заменить на величину {[к{х, у) - А:]/2) {Vjx + v-\) т.е. перейти к схеме с усреднением, то в подынтегральное выражение (5.12) войдет соответствующая величина

Обратимся снова к схеме (5.12), которую запишем так (опускаем знак интеграла и в правой части пишем Ini(...) = const, чтобы показать, что эта величина сохраняется) :

ImVpVp + khReVpx Vp = const. (5.15)

Теперь положим

= Kpiexp(-/X), Vp =Рр, (5.16)

где tgx = kh, Рр - новая комплексная функция целочисленного аргумента р. Тогда вместо (5.15) получим

Im [PpiPn] = const. (5.17)

Положим = д ехр(/ г) + bQxpi-inP) Снова как интеграл, так и знак суммы при суммировании по к при написании опускаем. Тогда

ImPp.Pp = \т[\а\ exp(irih) + Jexp (-/g /z)] = const. (5.18)

Если Ь = О, то Рр+1 = К,ехр(/Х) и U sinU + х1 = const. Теперь можно перейти к вещественной схеме. Эту схему запишем так:

1, m v- 1, п - 2а - Ctnm пт пт ( , т + 1 п, т-\) ,

(5.19)

где комплексные величины характеризуют поле, а вещественные

коэффициенты п, т - сетку и среду. После умножения (5.19)

на tTi, и суммирования по т видно, что остается инвариантной, т.е. не зависит от следующая величина:

ImS a;,n(av+i,m ~av,m) = const. (5.20)

Соотношение (5.20) проще, чем формула (5.12). К тому же, так как Imairn i; пг ~ О, оно полностью соответствует формуле (5.18). Получается одинаковый результат при любом переходе от комплексной (5.18) к вещественной схеме (5.19) согласно (5.17). В вещественной схеме (5.19) величины йг;, = Vw vm <плексные. Как было показано, приближенный переход к вещественным величинам возможен при условии kh > \ , igkh = я/2. Тогда

а\ = -й<1> . (5.21)

Рассмотрим выражение

(т) т

Г(1) 12 (1) (1)

(5.22)

Величина М является инвариантом для сложного волновода.

Таким образом, величины р, характеризующие поле в сеточном волноводе с достаточно крупной сеткой kh > \ и связанные на любых трех соседних нормальных слоях волновода вещественной разностной схемы (1.19), могут быть просуммированы по нормальному сечению волновода согласно (5.22). Эта сумма обладает инвариантным свойством. Величина (5.22) будет постоянной для любого сеточного слоя в нормальном сечении волновода. Даже тогда, когда kl < 2 или kh >khQ,T.e. когда явная вещественная разностная схема становится неустойчивой, что приводит к расходящемуся вычислительному процессу, уже никак не адекватному волновому полю. При этом инвариантность, т.е. независимость суммы (5.22) от ,все равно сохраняется.