ось волновода направлена вдоль координаты (шаг h), оси в нормальном сечении у и yi, с шагами сетки /и/i по ним, тогда вещественная схема тяР(х,у,у1) = Р ,п,п, (x = nh, у = 1т, уг =mh) имеет вид

Рп+\,т,т, =(Рп,т,т, +( , w +1 ,т , + ,w-l,w,)+ (2.14)

а = -/г(1+А:/г)-/(А:б -2 +2 ? -2/Л),

/3 = -/-Л (1+кЧг\ (2.15)

7 = -/?/ (1+кЧ)-\

Для устойчивости схемы (2.3) необходимо выполнение двух неравенств а + 23 < 2 и\а-2(\< 2. Из первого находим\kh€ip-2\ < 2 Vl кЧГ. При = 1 -2 < 2 vTTPP, откуда

khe<2(l\-€f\ (2.16)

Из второго неравенства 2 + 4Л/ <2\J\ -klf? (<с~ 0) откуда

1/(кЧ)< (VTTFF - 1 )/(2 Л). (2.17)

В трехмерном случае (2.14) для устойчивости необходимо выполнение уже четырех неравенств: а ± 23 ± 2 7 < 2. Взяв знаки +, находим снова условие (2.16). Для знаков - имеем [а - 23-27] < 2. При находим 2 + 4Л/- +4/i <2 Vl+Л:Л, откуда

(kl)- +(kli)- <(Vl -кЧ - 1)/2кЧ\ (2.18)

3. СХЕМА КРАНКА-НИКОЛЬСОНА И ВЕЩЕСТВЕННАЯ СХЕМА

Рассмотрим для ПУГ Vx + 2ikVx + Vyy + кV + ke (р-с)V= О сле-дуюшую схему Кранка-Никольсона:

V(x + h,y){llh +ik/h-k€ipcl2-l/l)+ (3.1)

+ V{x-Ky){\lh +2k/h-k€J2-lll) +

+ (l/2/) [К(л: + /г,з; + /)+ К(х+Л,з;-/) +

+ V (x-h, y + l)+V (x-h, y-l)] +k€ (ip-ip2) V (x, y) = 0,

где = const. Если положить

= r-h (3.2)

и воспользоваться заменой

V(x±h,y)= + iP(x±h,y), (3 3)

V(x,y±l)=±iP(x,y±l),

то приходим к схеме КН с вещественными коэффициентами

Р {X + К у) (Ф) + Р {х-К у) (Ф) + (1 /2 ) [/> (X + /г, + /) - (3.4)

-Р(х-\-Ку-1)-Р (x-h, у1)Р (x-h, у-1)] +

+ ке(-,)Р(х,у) = 0.

Схема (3.4) хотя и вещественная, но неявная. Запишем ее в следующем виде:

P(x-\-h,y + l)-P(x-h,у-1) -P(x-h,y) 2kP/h + F = О, (3.5)

F = P (x-h, y-l)-P (x-h, y+O + P (x-h, y)2kiyh- (3.6)

2keP(-,)P(x,y).

Для вычисления величины F необходимы два умножения и три сложения Для решения уравнения (3.5), следуя методу прогонки, полагаем

Р (х h, у + 1) = р (у) Р (х + К у) + q (у), (3.7а)

Р(х + К у-1) =[P(Xh,y)-q (у-1)] 1р (у-1) . (3.76) Величина р (у) удовлетворяет уравнению

Р(у)- Vp (у-1) + 2 klh = О, (3.8) Q (у) - уравнению

Q(y)-Q (y-l)ip iy-l) + = О, (3.9) т.е.

Q(y-l) = piy-l)[Fq(y)]. (3.9а)

Согласно (3.7а) видно, что для того, чтобы найти в одном узле Р (х \-h, у-\г I) , необходимо выполнить одно умножение и одно сложение. Также одно сложение и одно умножение необходимы в (3.9а), чтобы найти q (у-1) в одном узле. Следовательно, всего необходимо выполнить девять операций над вещественными числами: четыре умножения и пять сложений. Такова трудность вещественной схемы (3.4), полученной из схемы КН (3.1).

Поскольку член А: 6 (х, з;)-( J К входи г в схему без усреднения, то возникает ограничение на шаг h сверху. Если же (/? = (/?с =0, то использование вещественной схемы для КН связано с ограничением h = / согласно (3.2) при = 0.

Заметим, что если в вещественной схеме КН взять начальные условия

V(0,y) = d (у-уо )=V(Ky) = d (у-уо), (3.10)

Р(0,у) = д(у-у1 Р(Ку) = 1д(у-уо), то, решая вспомогательную задачу

Р(0,у)-д(у-уо). Р(Ку) = 0, (3.11)

согласно (3.4) находим, что P(2h, у) = -8(у - уо). Следовательно, когда

Р(х,у) =/(1) +iP\ получаем

Р (пКу) = Р(пКу); Р{тКу) = -Р{(т\)Ку), (3.12)

Соотношение (3.12) позволяет для вычисления комплексного решения Р = Р + iP ограничиться однократным вычислением вещественного решения P(rih,y).

4. СХЕМА ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Использование комплексной схемы КН (3.1) возможно для неоднородной среды при шагах l,h, изменяющихся в широких пределах. Вещественная схема (3.4) получена для однородной среды = const и к тому же при связях на /, h (3.2). Это сильно ограничивает возможности ее применения. Поэтому можно вернуться к ПУ likV + Vyy = О в узком угле < , N/k = е. Модифицируем ПУ следующим образом (см. гл. П, разд. 5) :

2ik(V-aVyy)x + Vyy = О, (4.1)

где а - некоторый положительный коэффициент. Находим решение (4.1) в полуполосе х>0, 0<><7г

V (X, у)=Хагг sin (пу) ехр [-ix 1(2к + ап)]. (4.2)

Конечно, введение параметра а вносит ошибку в решение ПУ. Но и само ПУ является всего лишь удобным приближением при решении уравнения Гельмгольца. Введение сетки с шагами h и / вносит дополнительную погрешность. Поэтому введение параметра а будет полезным тогда, когда ошибка, связанная с а, не превьппает ошибку от аппроксимации. Если при этом улучшается устойчивость, то использование (4.1) вместо ПУ будет вполне оправданно. Переход к разностной схеме для уравнения (4.i) подразумевает использование неявной схемы, поскольку на слое х + /г необходимо вычислять значение V (х h, у) в трех узлах у, у ± I. Это потребует применения метода прогонки, что несколько снижает эффективность неявных схем.

Для повьпиения эффективности вычислений можно рассмотреть использование для решения (4Л) вещественной неявной схемы. Сначала запишем комплексную неявную разностную схему для решения (4.1)

К(х +

l2h)J

( ik Aika \ ( ik Мка \

Ку)\---1- V{x-Ky)[---

V h l2h J Л h

2ika 2ika

--V(x+h,y+l)--;- V(x+h,y-l) +

l2h l2h

2ika 2ika

F(x-Л,;;+/)+ -- V(x-h,y-l) +

l2h V2h

+ /-[К(х,з;+/)+К(х,з;-/)-2К(х,з;)] =0. (4.3)

Затем, воспользовавшись заменой V{nh, у) -P(nh, у) ехр(-/Агя/2),