например, нас интересует \V (х, у)\

\V(x,y)\ = \p ,\ =(р1]1У HPiWJ- (1.8)

Вычисление поля по вещественной схеме (1.4) дает более высокую скорость, чем по комплексной схеме (1.1). Программа для (1.4) проще, чем для (1.1). В программе вычисления поля в волноводе, кроме арифметических действий, в каждом узле приходится выполнять логические операции: перебора всех узлов сетки и др. Поэтому, например, ЭВМ среднего быстродействия БЭСМ-6 проходит за 1 с 7 10 узлов сетки в том случае, когда коэффициент а = о: - заданная таблица (т.е. волновод слоистый), а 13 = const. Приведем некоторые оценки. Положим / = n/N, N=2k\fe, h= l/(ke), где 6 = t - квадрат угла учтенных в волноводе распространяющихся нормальных волн, общее число которых равно к(к - число полуволн, укладывающихся на глубине волновода Н = п). Тогда для трассы Ьн= ЮОН (сто глубин волновода) для различных частот и углов легко оценить необходимое количество узлов сетки, введенной в волноводе, а следовательно, найти время вычисления полного поля на БЭСМ-6.

Имеем N = 2kу/е - число узлов по вертикали. Оно в два раза превышает число учтенных нормальных волн к=к\/7. При шаге h = 1/(А:е) имеем s-nLke- число узлов по трассе (в единицах глубины Я); число всех незатухающих нормальных волн к

Н Я. 2. 10 4

к = - .10 =-=-/Я. (1.9)

Х/2 1500 3

Следовательно, число узлов Q равно

Q=Ns = 2nLeel6~LfHel:lOLfH€f. (1.10)

Время вычисления

T = Ns/l . 10 LhHUIP . 10 (1.10а)

Например, для /=10 Гц, Я = 6 км, I = ЮОН, е = 10 находим

Q=10 10 .36 10-=36.10Г= 5.10 с:9мин;

для/=10 Гц, Я = 6км, 1я=100, 6=10- Г=5с, для /= 10 Гц, Я = 6км, 1я = 20(120 км), е = 10 Г= 1 с, для/=10 Гц, Я=6км, 1я = 20(120км), 6=10 Г=30с. Непосредственные вычисления полностью подтвердили полученные оценки времени расчета полного поля.

Введем потери в ПУ в виде члена ik дф (ф>0) и воспользуемся явной схемой с усреднением, т.е. добавим к (1.1) член (1кдф/2) [V(x + у) \-+ У{х~Н, у)], Это означает, что в схеме (1.1) два первых члена надо заменить на такую сумму:

К (х + Л, у) (ik/h + ik 5 ф/2) + F (х + Л) (-ik/h + ik 5 ф/2) + ... (1.11)

Пусть ф = ф (у), т.е. среда слоистая. Тогда, используя замену (1.3), полу-

чаем вместо (1.4) снова схему с вещественными коэффициентами

+l,m =m ,m + ( ,тн-1 + и,т - 1) + 7 1 ,m , (1.12)

= {-Чк) [ееф(у)-21-\{\ккЬф (у)/2] , m=(-h/k)r [1кН8ф(у)/2]-\ (1.13)

[1+/г51 (у)/2]-\ з; = /т.

Тш = -11 - - (у)

В среде с потерями число операций в узле составляет уже три сложения и три умножения. Соответственно возрастает и время вычисления, примерно в 6/5, т.е. в 1,2 раза, если считать, что умножение и сложение одинаково трудоемки, или в 1,5 раза, если умножение требует значительно больше времени, чем сложение. Очень важно, что во всех ЯС отсутствует деление, операция, как известно, значительно более трудоемкая даже для оптических и нейронных ЭВМ близкого будущего [62].

2. ЯВНАЯ ВЕЩЕСТВЕННАЯ СХЕМА

ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Рассмотрим ПУГ Vx + 2ikVxкeV = О и ЯС для него

V(x-bh,y)(h- ik/h)\-V(x-h,y)(h- ik/h)-i-ГЦУ(х, у +1)-- (2.1)

+ V (х, у-1)) + V (х, у) {е 6V? -2 - 2lh) = 0.

Вместо (1.3) воспользуемся заменой

V(nh, у)=Р {пк, у) ехр i-iny), (2.2)

где ig у = кИ. Для Ргп пт * ,fw Рходим к вещественной схеме

fn+l,m -т*п,т +/( ,w + l + w -1 ) -1 ,m (2-3)

= -{ке(у) - )h/s/TTllF, (2.4)

Следуя предположению о незначительном изменении поля на соседних слоях сетки при хи при х + Л, полагаем

ViO,y) = f(y), V(h,y)=f(y), (2.5)

lXfiy)-fm~ заданная вещественная функция дискретного аргумента у = ml. Например, для точечного излучателя/= 5 (у-уо) или /= 5; (у-уо)-В связи с заменой (2.2) и начальными условиями (2.5) находим

Po,m-fm. Л,т=/техр(/7). (2.6)

Представим комплексную функцию Рт ВД суммы Рт

+ iPi где nm удовлетворяют вещественной схеме (2.3) и вещественным начальным условиям

<i=/-. <i=/mCOsx (2.7а)

o!i=0. P?,l=fmsiny. (2.76)

Пусть некоторая величина / удовлетворяет вещественной схеме (2.3) и вещественным начальным условиям

Jo,m=fm. Л,т=0. (2.8)

Тогда находим Следовательно,

\Рп,т\ -{Jn,mf +(.l,m)-2cOS7/ .(2.10)

Заметим, что для вычисления Р] и Р] нам потребовалось решить только одну задачу: найти/ для вещественного уравнения (2.3) с вещественными начальными условиями (2.8).

В том случае, если вторая производная по у аппроксимируется пятиточечной схемой

Ууу = ъ [V{yl)V(y-l)-2V(y)]ll - (2.11)

- Уз [F(y + 2/)+F(v-2/)-2F(x,3;)]/(4/), вместо (2.3) имеем

Рп+ит =0сРп,т(\Рп,т + 1 Pn,m-l) (2.12)

f\Pn.m + 2Pn,m-2)-Pn-l,m

) = (1 + /2 )-\к е - % + 7з А ),

/3(l) = 4 -2;2j 2;2)-1/4 2.13)

Семиточечная схема (2.12) для вычисления поля Pn+im УЗле (п + 1,/гг) требует трех умножений и пяти сложений. Аналогичным образом можно рассмотреть вещественные схемы с более высоким порядком аппроксимации Vyy.

Введение потерь, т.е. члена (к(дф/2) [V(x + h,y)-\- V(x-h,у)] в (2.1) уже не позволяет перейти точно к схеме с вещественным коэффициентом. Однако в частном случае, когда kh = e~>l, возможно положить 7 = 7г/2, e = ±i. Тогда такой переход можно выполнить для среды с Потерями совершенно аналогично тому, как потери учтены в вещественной схеме для ПУ в разд. 1.

Для трехмерного волновода несложно преобразовать У Г в ПУГ. Когда