Наконец, заметим, что U2(xy) в сеточной среде удовлетворяет разност. ному УГ

[U2(0,y + l)U2(0,y-l)-2U2{0,y)]ll + (5.7)

+ [U2(Ky)U2(-Ky)-2U2(0,y)]/h klU2(0,y) = 0.

Следовательно, найдя из (5.6а) величины U2 (О, у), U2 (О, у ± /), 1/2(0,у ± ±2/)..., а из (5.6в) и (5.7) разность и сумму (/2 (Л, >) и (/2 (-Л, З), имеем

U2 (К у) - U2 {-к У) = (к Lly-kd)[U,(h,y-U, {-К У)] = (5.8)

U2{К У) + U2{-К y) = 2U2(0,y)-(hyi)[U2(0,yn

+ 2(0,3-0-22(0,3)] =/3.

Получаем окончательно

U2(-Ky)-(P-a)/2, и2(Ку) = фа)12. (5.9)

Таким образом, выполняя только явные вычисления, удается пройти численно слабоотражающую гипотетическую границу с условиями (5.6а), (5.66) и соотношением для коэффициента отражения (4.7). Затем, если при x>Xo(xQ>h) расположена среда с волновым числом к, всю эту процедуру можно повторить, добиваясь достаточно малого коэффициента отражения между двумя средами с волновыми числами к и к\ Здесь нет необходимости подробно обсуждать, как может быть реализована динамическая модель для слабоотражающей границы в виде уравнений (4.12), (4.13), условий (4.4), (5.6а, 5.66) и др. Рассмотрим, как волна приходит из сплошной среды с волновым числом к в сеточную с таким же волновым числом. Полагая в (5.7) к2 = к, h= I, имеем

Ui(х,у) = ехр (ix V-+ / ) + Ксхр {-ixyjк- + iу) , (5.10) х<0,

U2{x,y)=Wexp (ib+ixK), где

4 sin(/c 2) = М - 4rsin(S 2). (5.П) После несложных вычислений находим

к-у/к]- + 7 24, (5.12)

У = (к]-) {VFF+ lV[(A:b?)VFF]} Полагая = ki sin t, при I F < 1 имеем

V=(k4 /48) (cos+ sin v tgr}), (5.13)

При /-0 коэффициент отражения волны, падающей на границу сплошной и сеточной сред, обращается в нуль.

Глава VI

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ

Хоть простота приятна людям, Но сложное доступней им.

Б. Пастернак

1. ЯВНАЯ СХЕМА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Комплексные числа характеризуют гармонические волновые поля в узлах сетки. Арифметические действия над ними более трудоемкие, чем операции с вещественными числами, и требуют, как правило, в 4-6 раз больше машинного времени и в 2 раза больше ячеек оперативной памяти. Поэтому один из путей повышения эффективности и быстродействия разностных схем связан с использованием вещественных схем вместо комплексных, т.е. схем с вещественными коэффициентами для комплексных величин, характеризующих волновые поля.

В качестве примера рассмотрим вначале ПУ 2 ikV + Vyy + eV = 0. На сетке /, h для него имеем явную трехслойную схему

V{x + К у) (ik/h) + V (x-h, у) (-ik/h) + / (F (х, 3; + /) + (1.1)

+ V (х, у-1) + V (х,;;)) [А: ] = 0.

Пусть для трехслойной схемы (1.1) на двух слоях х = О, х = Л заданы одинаковые начальные условия

V(0,y) = di(y-yo), V(Ky) = dj(y-yo\ (1.2)

где S=S/(y-Jo) ~ вещественная разностная 5-функция или любая другая вещественная функция дискретного аргумента. При малых h, как и раньше, считаем, что поле незначительно изменяется на расстояниях h и поэтому приближенно V(0,у)= V(h, у) = д.

Конечно, волновое поле V(x,y) - комплексная функция V= V iVK При нахождении ее из разностного уравнения должно выполняться условие устойчивости. Это условие характеризуется тем обстоятельством, что все фурье-компоненты поля на сетке имеют единичный модуль и некоторую фазу, изменяющуюся от слоя к слою. Поэтому в фазе V(x,y) можно выделить некоторую функцию, которая постоянна в нормальном сечении волновода и изменяется от слоя к слою. Не нарушая устойчивости схемы, можно положить

V {пК у)=Р {пК у) ехр {-inh 7Г/2), (1.3)

где Р{пКу) = Р{х,у) = Р iP\ x = nh.

Подставляя (1.3) в (1.1), имеем вещественную схему

Умножение V на фазовую функцию ехр по смыслу очень близко к идее умно-

жения функции i , характеризующей волны де Бройля в квантовой механике а ехр [ia {х, у, z, t)] так, что вероятность \ф \ при этом не изменяется. Известно, что благодаря такой операции были найдены калибровочные поля и установлена связь между различными фундаментальными силами в природе.

/> .,1, aPrrn ПРп,т1 K,m-l)-Pn-l,m. (1.4)

тцеР=Р(пК mll(x = nh,y = ml), a = -h/k [ke-ir], р=-(Н/к)Г\ Коэффициенты вещественны.

Видно, что применение схемы (1.4) требует в каждом узле сетки всего двух умножений величин Рп,т*Рп,т + \ п,т- \ зарансс вычисленные коэффициенты а и 3 и трех сложений, т.е. двух сложений и одного вычитания. Конечно, поскольку величины Рпт комплексные, то это все же действия над комплексными числами. Вещественную и мнимую части Рпт МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ отдсльно, ссли использовать для них следующие из условий (1.2) и замены (1.3) начальные условия:

Ро,т = V(0,y) = S; Pi\l =5; PlO (1.5)

Л,ж = (Л,;0ехр(/7г/2) = /К(Л,;.) = /5; P\}n-0\ Р?Х=

Обе величины Р и Р вещественны. Поэтому на первый взгляд кажется, что их вычисление по схеме (1.4) требует двойного применения вещественной схемы (1.4) для вещественных начальных условий (1.5) на двух первых слоях п = О, I отдельно для Р( iiP(\ Причем для 1гт (1-4) и (1.5) имеем на трех первых слоях ( = О, 1,2)

Pi%=> Р\%=0; Pi]l = -S, (1.6)

ДЛЯ Р на двух первых слоях (и = О, 1) и на слое п= - I получаем

Поскольку схема (1.4) линейная и трехслойная, то значения функций дискретных аргументов i, т ho зависят от их значений на любых двух соседних слоях. Откуда согласно (1.6) и (1.6а) следует равенство

р(2) (17)

Соотношение (1.7) означает, что для вычисления комплексной величины ffm следовательно, и комплексной Bejm4HHbi V (х, у) можно ограничиться всего однократным расчетом по вещественной схеме (1.4) с вещественным начальным условием Р =д,Р{ = 0. Таким образом, непосредственным вычислением по схеме (1.4) находим только Р\ Затем, используя соотношение (1.7), определяем Р] и все поле. Если,

Конечно, если вместо условия (1.5) мы имеем условия v(0.y)=f,(y)if,(y); р[]1-Г.(уУ oltf

v{h,y)=g,(y) + ig,(yy, ii,m = l,m=i-2; 1 = -- 1%=!,

то двойного вычисления по вещественной схеме (1.4) с начальным вещественным

условием для р[}, р}\ р?] избежать уже не удается. Цт 1,т 0,т 1,т -