u2 y нормальные производные

ui (O.y) = 2 (0,y), uix(0,y) = U2x(0,y), (4.1)

олучаем уравнения

V=W, (1 - К) Vir = \/2-?И/. (4.2)

рводяобозначения А: = (A:i + /:2)/2, 5 = (/:2 - i)/2, находим

(1-К)/(1 + К) = л/1ГТ/\/ГТ = V(A: + 5)-5VV(-5)-r =

(4.3)

Приближенное равенство получаем при условии, что д <1 и к. Из (4.3) видно, что для любых т, т.е. для любых углов коэффициент отражения К~5, т.е. V\ при малом отличии сред всегда пропорционален величине 8 = (к2- i)/2.

Заменим теперь второе краевое условие в (4.1) на следующее гипотетическое условие [53, 54]:

(к + кдд1ду)и,А0,У) = (k-kddldy)u2A0,y). (4.4)

Вместо (4.2) имеем

1 + К = И/, (1 - F) /k\(k+kд - ?) = (4 5)

= W(k-kd-)y/kl.

Введем обозначения = к - , = к sin Поскольку к = = (1 + Л:2)/2, то = kisim, 5=/:2Sini>2, где , я>2 - У глы падения плоской волны в средах. Следовательно,

8тя = Д = 2sinzi sini2/(sinii+8шя2). (4.6)

Так как к2 - ki = 2д, 5 < 1, то приближенно т> : я>2 Из двух равенств (4.5) находим

(1 - К)/(1 + F) = (а-к8) у/(к8У-[ак8) y/JTj] =

= (а - кд) Vfl + 2 А:5 + 5 V [ ( + кд) V - 2Л5 + 5 ] = /(5) (-5).

Откуда (4-7)

V= [Г(-5)-/(5)]/[/(5)+/(-5)], (4.8)

где/(5) = (а-к8)у/а + 2 5 + 5. Из (4.8) следует, что К(6) - нечетная функция аргумента 5, F(5) = + 5 + 55... Легко найти, что Л = 0,5 = = 2 (/:д -А:д ) . Откуда приближенно

\У\=диУк\ (4.9)

Граница между двумя средами с близкими по величине волновыми числами А: 1, А:2 отражает плоскую волну, падающую под любым углом 1 (р ~L>i) значительно слабее, чем граница с условием (4.1).

Отсюда следует, что если необходимо согласовать две среды с произ-

вольными волновыми числами к п к\ к = 1/2 (к к) в широ. ком диапазоне углов падения волн, то это можно сделать следующим обра, зом. Вначале разбиваем согласующий слой (толщина его несущественна если речь идет о математическом моделировании) на N слоев, в которых

(1)=Д;(1) + 25, ке + 25, где 5 = [А:2>-А:1>]/М Тогда на границе A2.ro и (A2-l)-ro слоев имеем коэффициенты отражения (4.9). Суммарный коэф. фициент отражения равен

\Va\N(d/N) vk =(дум)(иУк). (4.10)

Увеличивая N, можно добиться сколь угодно малой величины (К). В этом состоит просветвляющее применение моделей согласующих слоев.

Для произвольной зависимости к (х) от координаты х возьмем следующее выражение для волнового поля:

и= и(х.У) + и (x,3;) = /F(5)exp (/ + V))5+ (4.11)

+ /F (5)exp ОЬ - / f¥WTdx)dl

Это приближенное решение УГ [А + к (х)] Р (х, у) = О, полученное методом ВКБ [53], Структура его такова, что оно состоит из двух волн 1Л и распространяющихся совершенно независимо и не превращающихся друг в друга в процессе распространения. Для реальной среды это невозможно. Однако можно построить модель среды, в которой волны U+ и распространяются независимо [53]. Имеем

[Akix)] U=S(xy), (4.12)

Syyk4x)S = k(x)k(x)Ux.

Это уравнение неоднородной среды с правой частью и уравнение колебания струны соответственно. Легко убедиться, что (4.11) удовлетворяет (4.12).

Если положить А:(х) = a;/c(x)=-с(х) Э/Эг, то можно перейти к уравнениям с произвольной зависимостью от времени

[A-c-\x)dybt] U(xyt) = S(xyt), (413)

Syy-c-\x)(d/dt)S = - [с\х)/с\х)] Ux..(x.y. t),

В том случае, когда k(x) = kl (1 +/Хх)), в среде присутствуют потери, характеризуемые функцией ip(x) или соответствующим нечетным производным по времени в адекватной системе уравнений. Если реализовать поглощающий слой толщиной L в виде дискретных слоев с краевыми условиями (4.5) на их границах, то можно прийти к оценке

\V\-af ; ехр [2Ке (ify/kx) - )d]dx + (4.14)

+ ехр [2 Re (i fy/k\x)-f) d], о

где параметры а, g связаны с количеством однородных слоев N(a ->0 при 7V-> >) углом падения волны. Монотонно растущие функции ((х) характеризуют приближенно скачкообразные изменения потерь в слоях. Функ-128

цйонал (4.14) можно либо минимизировать по правилам вариационного исчисления, либо оценить его величину на семействе пробных

функций.

5. о СЕТОЧНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОСВЕТВЛЯЮЩЕГО КРАЕВОГО УСЛОВИЯ

Рассмотрим снова краевые условия на границе двух сред, которые запишем следующим образом:

где А, B,QD- некоторые операторы, действующие в среде при х < О и х > > 0. Если А = В = С = D = 1,то приходим к обычным краевым условиям (4.1). Из (5.1) находим

(1-К)/(1 + F) = Ш y/kl- /(СВк]-) = (5.2)

= DA у/7Т2кЬТЕ1{СВyja-lkb-b).

Полагая

/)Л =А:+aVa/+/:5, СВ = /Ъу ~кЬ, (5.3)

приходим к выражению (4.7) {Ъ/Ъу = -). Можно положить А = В - \ . Тогда из (5.3) и (5,1) следуют условия (4.4), когда операторы С w D содержат вторую производную по;. Если же положить

А = Ъ/Ъу1у/к +кд, D = d/dy-iyj¥Tk8 (5.4)

Э - Э

С = - -iy/e-kb, В =--iyjk-kd,

by by

то снова приходим к выражению (5.2) при условиях (5.1), когда на границе X = 0 действуют на Ui, U2 уже операторы первого порядка по у.

При численной сеточной реализации нам удобнее всего, чтобы во второй среде при х > О узлов сетки было как можно меньше в каждом краевом условии, чтобы все вычисления при продвижении вдоль оси х можно было бы производить явно. Тогда положим B = D= I,

А=е -b/by -ьк8=а +кд,

С = е blby -кЬа-кЬ. (-

Снова приходим к выражению (5.2). Имеем

(А: +aVa/ +A:5)f/i = C/2(0), (5.6а)

{к +aVay-A:5)C/i, = C/2(0), (5.66)

Следовательно, 2(0), 62jc (0) из (5.6) можно вычислить явно. Конечно, Поскольку необходимо вычислять производную по X при X = О, то в случае сетки лучше отступить на ±/г от границы х = 0. Имеем вместо (5.66)

{к Цу-кЬ) [U,{Kx)-Uy{-Ky)]l{2h)= (5.6b)

-{U2{Ky)-U2{-Ky)]l{2h).