дансного условия на границе и неравномерной сетке вблизи границы, справедливы как для одномерной, так и для двумерной волноводной задачи. Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если граница волновода у -1\ неровная, то в разностной схеме шаг перед границей можно считать зависящим от л:: /i = Такая граница рассеивает волны.

Вычисление в однородном и в слоисто-неоднородном волноводе с рассеивающей границей проводились на основе метода сеток. Они дали удовлетворительное совпадение результатов с известными аналитическими оценками для слабонеровной границы. Конечно, неровность границы в соответствующей разностной схеме может измениться в достаточно широких пределах, характеризоваться детерминированной и случайной частью функции /i ipc), причем статистические свойства случайной части могут изменяться по трассе. Вычислительные эксперименты в различных классах двумерных и трехмерных волноводных и неровными рассеиваюпщми и поглощающими границами более разнообразны и охватывают более широкий класс задач, чем самые сложные аналитические формулы, полученные в задачах рассеяния волн при довольно жестких предположениях.

Если неровная граница у =1\{х) является идеальной, то при малых /i {х) имеем и{х, 0) + Uy{x, 0) /1 {х) - 0. Тем самым приближенно неровная идеальная граница соответствует ровной импедансной границе с переменным импедансом. Таким образом, при использовании МКР открываются две возможности вычислять рассеяние от неровной границы: вводя переменный шаг или переменный импеданс. Обе возможности были сравнительно легко реализованы в вычислительных схемах МКР и дали хорошее сравнение результатов.

Еще в более сложном случае неровная граница /1 = /1 (л:) может характеризоваться переменным импедансом ol=ol{x). Тогда, используя формулу (1.17), можно рассмотреть такие величины /(л:), ol(x), к, для которых

а(д:)/+(Л 2)(/-/(л:)) =const. (1.21)

При таком соотношении /(л:), а{х),к коэффициент отражения V (согласно выражению (1.17)) - постоянная величина. Поэтому такая искривленная граница с переменным импедансом обладает свойством не рассеивать одну волну, поскольку А:одн = к Ъ 1Ъх, т.е. волну, идущую под определенным углом, зависящем от а{х) и 1{х). Граница отражает ее зеркально.

Переход от импедансного условия заданного на границе к переменному коэффициенту в самом уравнении, характеризующему один слой некоторой неоднородной среды, является специфическим свойством разностных Уравнений и разностных краевых условий. Поэтому данный метод может оказаться эффективным при исследовании устойчивости системы уравнений с условиями импедансного типа на границах, обеспечивающих взаимную трансформацию волн. Рассмотрим, например, уравнения

+ /:V = 0, (1.22)

с условиями

+ а(р + ]3(/) = о, i - + 5i = О (1.23)

на границе у =0. Полагая

р=а ехр (iky) Уца exp(-iky) +21 ехр(-/Л:з),

ф = Ь ехр (iKy) + F2 2 Ь ехр (-f кд) + д Fi 2 ехр (-iKy), (1.24)

где а,Ь= const, находим коэффициенты отражения и трансформации волн двух типов. Выражения для них нет необходимости приводить. Затем переходим к разностным уравнениям, разностным аналогам условия (1.23), находим коэффициенты Vj отражения и трансформации разностных волн и, наконец, находим уравнение вида

+ 1ф + Рэф\=0, Фууя1ф Фslф = 0, (1.25)

разностные аналоги которых при идеальном условии р = ф = 0 на границе 3; =0 будут давать такие же коэффициенты Fy, как и в случае импе-дансных условий (1.23).

Понятно, что уравнения (1.22) и условия (1.23) могут быть как двумерными, так и трехмерными, например при описании продольных и поперечных волн в твердых волноводах [77] .Численные задачи о волнах в твердых волноводах с плавным изменением свойств были рассмотрены в [47]. Переход от условий импедансного типа на границах к условиям р = ф = 0 очень облегчает анализ устойчивости явных схем при решении волновых задач в твердых волноводах с резкими границами.

Заметим, что условия импедансного типа встречаются также при удовлетворении требованиям непрерывности поля и его нормальной производной на границе двух жидких сред u=Ux, и = mui, где т - некоторый коэффициент. Если полупространство, в котором поле характеризуется уходящей волной Ui = ехр (ix + iy 1 - ? ) заполнено средой с волновым числом к 1,10 для поля и имеем и у - im \1к\ - - 0. Следовательно, а = -im Vк\ - Используя предложенный метод в окрестности границы, вместо УГ получаем уравнение

[д/Ьх + Э/ЭУ +1 +Л/ + /V)bF ]w=0. (1.26)

Запишем его в виде Lu= -i \/к\- и = w , где L - соответствующий оператор из (1.26). Тогда приходим к системе двух уравнений

Ьи = щ w= -(к\-)и = 0, (1.27)

где = Э/Эл:. Эти уравнения должны быть использованы только на одном сеточном слое у = ±1 в окрестности идеальной границы и = w = 0. А в среде имеем обычное уравнение для w.

2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ СРЕД

Пусть поле в двух средах удовлетворяет дифференциальным уравнениям Гельмгольца с волновыми числами k(z < 0) и ki (z>0). На плоской границе двух сред необходимо приравнять сами решения w, и их производные и\ и[, иногда с некоторым весом т: и= ти\. Если в окрестности границы ввести сежу с шагом /, то в средах с к vi кх (в многомер-

ном случае А:2 ик\ - операторы) имеем разностные аналоги УГ

и(-21)и(-0) -2и(-1) + (к1/2)и(-1) =0, (2,1)

иг(21) + wi(0) - 2иг(1){к\112)и,(1) =0.

Вторые производные аппроксимированы в точках z = -/ и z = /. В этих же точках берем значения самих функций w(-/), Wi(/); согласно условию задачи полагаем

и(-1) = wi(/). (2.1а)

Иначе говоря, используя равенство (2.1а), мы как бы считаем, что границы двух сред проходят не через слой z = 0. Пусть граница между средами соответствует совмещению слоя z = -/ со слоем z = /. Это означает, что для правильной аппроксимации уравнений их разностными аналогами мы как бы сначала продолжаем среды за границу z = О, а затем уже требуем выполнения равенства и(-1) = Wi(/). Такой прием продолжения сред позволяет легко удовлетворить второму условию задачи - равенству разностных аналогов производных. Производные вычисляем так же в окрестности узлов z = -/ и z = / и приравниваем их:

и(-21) -и(0) =(wi(0) -w(2/). (2.2)

Теперь мы имеем четыре уравнения (2.1), (2.1а), (2.2) для пяти следующих величин w(-2/), w(-/), Wi(0), Wi(/), Uy{2l). Исключим две величины и {I) и Wi(-/), которые находятся вне реальных сред. Они были введены искусственно для лучей аппроксимации производных. Приходим к уравнению

w.(-2/) + w+(2/) -2wo/ + (А:/2+ k\ll2)uo{l) = 0. (2.3)

Уравнение (2.3) является разностным аналогом УГ на границе двух сред с различными свойствами. Здесь UqI - значение поля на этой границе Uq = = и(-1) = Wi (/), а W+ и w - значение поля по обе стороны от границы на расстоянии от нее ±/, т.е. на концах интервала 2/: w = и(-21), и+ = = Ui (21). Иначе говоря, УГ, описывающее поле в окрестности сред с волновыми числами к и kl и коэффициентами А: и к], для хорошей аппроксимации должно быть таким, чтобы квадрат его коэффициента был равен среднему арифметическому к и к\: ку= %(к /:i). Конечно, в двумерном и трехмерном случаях, а также при использовании ПУ и ПУГ величины к nki могут быть операторами.

Рассмотрим случай, когда узел сетки не попадает на границу z = О, а попадает в точку z = у>0 (0< у< I). Тогда имеем два разностных уравнения Гельмгольца

и(у-21) + и(у)-2и(у-1) + кЧи(у-1) =0, (2.4)

1(7 + 0 + ui(y-l)-2и(у) + kbui(y)=0.

Что касается первых производных, то на интервалах -21 < z < О и

Его можно назватыакже методом алгоритмической петли , так как приходится

возвращаться уже к пройденному узлу сетки. При необходимости в (2.2) можно ввести вес т.