вое число к в (1.1) ив (1.3) необходимо заменить на A:cos7. Для малых углов скольжения (у = тг/! - t) и комплексных a=ai +ш2 имеем

iki + ai + /0:2

ikd-ai -Ш2

При a2 < О получаем, что \v\ < 1. Подбирая ai и 2, можно аппроксимировать кривую I V (t) на небольшом участке вблизи = О в виде зависимости (1.4а).

Поле в волноводе с поглощающей импедансной границей должно затухать. Однако, как мы видели, само использование какой-либо вычислительной схемы вместе с краевым и начальным условиями еще далеко не все. Необходимо, чтобы сохранялась устойчивость для достаточно широкого класса задач, для волноводов, характеризуемых неоднородной средой, неровной отражающей, рассеивающей и поглощающей границей, для которой, например, коэффициент а является комплексным и изменяется от точки к точке. Удобнее всего анализировать вопросы устойчивости схем, используя метод замороженных коэффициентов. При этом исследуется явное решение уравнения с постоянными замороженными коэффициентами для краевого условия первого рода [и] = 0. В случае им-педансного условия на границе - краевого условия третьего рода (1.1) - решение волновых задач в явном виде даже для однородных волноводов с к = const представляет определенные трудности. Для исследования устойчивости приходится идти другим путем. Необходимо вначале преобразовать краевое условие (1.3) в некоторый коэффициент самого уравнения Гельмгольца или точнее, в его разностный аналог на трех узлах: на двух узлах сетки /у = ±1 в окрестности импедансной границы ; = О и на узле 3; = 0. В дифференциальной задаче это не удается сделать. Но возможности разностной задачи более разнообразны, и такую операцию можно попыгаться осуществить.

Сделаем это следующим образом. Новую границу, которую поместим при 3 = +/, будем характеризовать однородным краевым условием Дирихле

w(+/) =0. (1.5)

Рассмотрим в окрестности узла у = О (или границы у = 0) разностное одномерное уравнение Гельмгольца

[и(+1) + и{-1)-2и(0)]/1 +к1фи(0) =0. (1.6)

При у = 0, у = -I берем следующее решение (1.2а):

и(у) = [ехр (iKy) + iTexp (-гку)] (1 + и) ,

а при у = / согласно (1.5) полагаем w(+/) = 0. Подставляя эти величины в (1.6),имеем

[ехр (- с/) + и ехр ( с/)] (1 +и)- -2+А:ф/ = 0. (1.7)

Откуда

и = -[ехр( с/)--2+А:ф/][ехр(- с/)-2+А:ф/]- (1.8)

Потребуем, чтобы коэффициент отражения v в (1.4) разностной волны 118

QXp(if<y) совпадал с и из (1.8). Так как ехр(+г/с/) = cos/c/ +/sin/c/, coskI = 1 - согласно (1.26), то коэффициент и из (1.8) будет

равенкоэффициенту отражения и из (1.4) только при условии

к1ф =(Г-а1- +к12), (1.9)

Таким образом, пусть в узлах сетки при у = -21, -3/, ... или в области у < -I имеется среда с волновым числом к. Разностный аналог одномерного УГ имеет такой вид: и{у \- I) и(у - I) - 2и(у) к1и(у) =0. Тогда в узле у = О, т.е. на предпоследнем перед идеальной границей у = I (и(1) =0) узле, необходимо взять среду с волновым числом кф (1.9) и разностный аналог (1.6) УГ с кф. Тогда общий коэффициент отражения от такой среды и идеальной границы совпадает с коэффициентом отражения v (1.4) от импедансной границы с разностным аналогом (1.3) краевого условия третьего рода (1.1).

В чем смысл такой процедуры? Как уже отмечалось, разностные схемы УГ с переменным коэффициентом к(у) удобно анализировать на устойчивость методом замороженных коэффициентов. Например, схема КН будет всегда устойчива для к = к(у), г ЯС - только при определенном выборе шагов. Условие же на границе для явной схемы будет и(1) =0, что значительно упрощает анализ устойчивости схемы в неоднородных средах. Конечно, после анализа устойчивости разностных схем с замороженными коэффициентами коэффициенты можно делать снова переменными ( размораживать ), а по схемам считать обычным образом.

Вьпые было рассмотрено одномерное УГ. Для двумерного уравнения с переменным ко (ко = ко (х, y))Uxx + уу + klu = О полагаем к = kl + Ь/Ьх. Тогда Ыуу + ки = О, где к - оператор. Согласно (1.9) находим к1ф тоже в виде оператора

к1ф = (/- - аГ + kll2 + V2 ЭЭх). (1.10)

На предпоследнем слое у = 0 перед идеальной границей у = I, подставляя (1.10) в (1.6), имеем УГ

iyy- %Uxx(.kl2r-ar)u = 0, (1.11)

в котором, конечно, Ыуу аппроксимируется разностным аналогом.

Рассмотрим ПУГ Vx- 2ikoVx Vyy-klepV = 0. Имеем k = klep- i2koblbx + b/bx. Для предпоследнего слоя (у = 0) имеем ПУГ

Vyy--гкУх-Ухх- (kle- Г-аГ)У= О, (1.12)

где Vyy надо заменить разностным аналогом.

Для неидеальных поглощающих границ коэффициент а в (1.1) будет комплексным. Аналогичный комплексный коэффициент войдет вив уравнения (1.11), (1.12). Чтобы ЯС бьша устойчива для сред с потерями, необходимо применить для (1.11), (1.12) ЯС с усреднением. Теперь это не вызывает никаких трудностей.

Если коэффициент а считать отрицательной величиной (а -> -а), то вдоль такой границы возможно распространение поверхностной экспоненциально убывающей вглубь среды волн. Поведение поверхностных волн отличается большим своеобразием и представляет большой интерес. Расчет

их свойств сильно усложняется, когда а является функцией точки на границе. Для некоторых других задач коэффициент а может сложным образом зависеть от производной по у, как, например, в случае когда упругая пластина находится на поверхности жидкости [53].Понятно,что анализ устойчивости ЯС, схемы с усреднением, схемы с более высокими производными по у может быть выполнен методом замороженных коэффициентом с однородным условием на границе. Это ценное обстоятельство. Однако подробное исследование полей поверхностных волн на основе МКР мы здесь не проводим.

Особенно удобным оказывается переход к УГ с кф для неровной рассеивающей импедансной границы. С этой целью рассмотрим в окрестности границы у = 0 неравномерную сетку с шагом / при 3; < О и с шагом 1 при 3;>0. Разностный аналог краевого условия (1.1) в окрестности границы у = 0 возьмем в виде трехточечной схемы

w(/i) -w(-/) + (/ + /i)aw(0) = 0. (1.13)

Для нахождений w(/i) воспользуемся следующим разностным уравнением Гельмгольца на неравномерной сетке тоже в окрестности узла = 0:

{u{l,)-umili - [ (О) -(--/)] + А:1ф[(/+/1)/2](0) =0. (1.14)

Пусть решение ы{у) в двух точках = О и 3; = -/ имеет вид суммы прямой и отраженной волн:

и= [ехр{-1ку) + иехр(-/кз;)] (1+и) (1.14а)

где cos к/ = 1-к1/2. Исключая u(li) из (1.13) и (1.14),имеем

(0) [ 1 + /1 - (А:1ф/2) ( 1 + /? ) + а (/ + /О ] - W (- О (1 + /1 ) = 0.

(1.15)

Откуда ,

(1 + и) {1 + /1 - (А:ф/2) ( i + /? ) + а (/ + /О} -

- (1 [ехр(-/к/) +ехр(/к/)] =0. (1.16) После элементарных преобразований, находим

(1- v)Klv) = [a/+( 2)(/-/0]/(/sinK/). (1.17)

Теперь рассмотрим снова УГ (1.14) с кэф. Полагая

и(1г) = О, (1.17а)

а также согласно (1.14а)

и(0) =1, и(-1) = [ехр(-/к/) + иехр(гк/)] (1+и)-\ (1.18)

имеем

(1 + и) [к1ф (/ + /0/2 - 1/1 г - 1 + cos Kl/l] -

- (/ sinK /)(l - у) = 0. (1.19) Сравнивая (1.17) и (1.19), полу чаем

к1ф(11 + i)/2 = 1 - a/i + eilll, (1.20)

Как и в предьщущей задаче, все результаты, полученные в случае импе-120