Вьшолняя замену т = Ti- ex, имеем

пке п-ке

V (х, 7, г) = Б а sin (ny)f(Tt + -- ) ехр {-ikx ) (5.9)

Теперь все становится ясно. Если п1 -ке = О, п = По +т, -то <т<то то полагая (пот2)-ке = ± 5 (2А:), имеем

(по± тУ -к€/(2к)]х = ±дх. (5.10)

Зная протяженность трассы х = L, длительность Т импульса/(ti), число узлов М на сетке по Ti = Т, нетрудно подобрать величину 5 так, чтобы, пройдя трассу импульсы распльшались вдвое (втрое). В таком случае во избежание попадания в волновод ложного импульса при рассмотрении нестационарной задачи можно положить =2Mi и считать 1тм ~ = 2Т. Видно, что импульс /(ri) ддительностью Т занимает половину интервала 2Т. Когда он распльюается вдвое , то занимает уже весь интервал 2 Г, а никакой ложный импульс в волновод попасть не может: просто не успеет дойти до нижней границы временного интервала 2Т. Из (3.10) приближенно имеем

(По + тоУ = ке + 2кЧ = (ky/l + ky/df. (5.11)

Отсюда

то = ку/8. (5.12)

Если, nanpiMep, Г = 150 м = 0,15 км, к = 10 , 5 = 10- то то = 10. Чтобы в правой части (5.10) получить 0,15 км, необходимо взять длину трассы такой, чтобы 10L = 0,15 км, откуда L = 15 10 км, т.е. в этом случае распльшание 5-волны на трассах ~ 10 км будет совсем незначительное.

Рассмотрим, как преобразуется уравнение (5.7) при замене г = Ti-ex. Имеем

2ikVx(x,y,T) = 2ikV\x,y,Ti)+ 2ik€Vr (5.13)

Следовательно,

2ikVy + V}p - (l/ik) V}y\ + eeV +

+ [еефк) 4 2ike] FJ= 0. (5.14)

Аналогичным образом преобразуется и более сложное (более точное) уравнение (5.3) него решение (5.4).

В более общем случае, когда вместо замены р - Fexp(/A:r) = = Fexp07:ri- ikex) используется замена

р = Кехр (ikTs - ikex ), (5.15)

т.е. = г + бг, тогда каждый раз необходимо выбирать определенный 5-пучок 5-волн и добиваться, чтобы этот пучок был узким по углу и мало расширялся. Суммируя s-пучки 5-волн, окончательно получаем

Ра (г, х,у) = Vs (г) ехр (ikTs - ikex). (5.16)

Преобразованное точное волновое уравнение (3.1), как и его прибли-

женное, сведенное к ПУ, позволило для однородной среды = полу, чить решение в явном виде. Было удобно исследовать это решение и изучить ряд важных свойств узкого 5-пучка нестационарных импульсных волн в волноводе. Теперь можно приступить к точному разностному решению исходной задачи (к построению алгоритмических формул) без предположения о малости вторых производных. С этой целью можно воспользоваться спектральным представлением

V(xy,T) = i W\x,y,)exp(ir), (5.17)

r = lr V. Ur=2nWjM, = ImmjiMlr). (5.18)

Поскольку по г мы вводим сетку с шагом то дифференцирование по г необходимо заменить разностным аналогом

ехр[ Л+1)] -ехр[ Л-1)]/2/г =

= / sin 5 /гехр(/?, г) .

(5.19)

После этого уравнение (3.1) преобразуется к виду

sin iXm U)

sin dm Ir)

(5.20)

Это уравнение идентично ПУГ для гармонического сигнала с волновым числом к = к[\ + sin(?mr)/(r)]. Поскольку пт = 2nim/M (т = = 1, 2,.,.,Л0,то -1 <sin(mr) < 1. Следовательно, диапазон изменения к зависит от величины klj. Поскольку к характеризует несущую частоту импульса ехрОА:г), г 1 - шаг дискретной аппроксимации огибающей, то понятно, что нельзя брать слишком малой величиной: периодичность огибающей не должна быть больше, чем период несущей. Из этой оценки следует неравенство А:/- > 2п.

Глава V

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ИМПЕДАНСНЫХ ГРАНИЦ И ДЛЯ РЕЗКИХ ГРАНИЦ МЕЖДУ СРЕДАМИ

Новую идею легко критиковать - одним она кажется ненужной и необоснованной, другие указывают не ее логическое несовершенство, третьи борются с ней потому, что не доверяют ее автору.

В. С. Барашен ков *

Ь РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ИМПЕДАНСНЫХ ГРАНИЦ

Импеданс - некоторый коэффициент а в краевом условии третьего рода - характеризует связь между полем и его нормальной производной на границе, например, при = 0:

[w/ аи]уо =0.. (1.1)

Пусть вблизи границы при у <0 среда однородная и характеризуется волновым числом к. Волна ехр(/А:>) падает на границу нормально. Полагаем и = [exp(iky) + vexp(-iky)] (1 + v) , где v - коэффициент отражения. Тогда из (1.1) находим

ik(l -v)(\ +и)- +а = 0. Откуда

и = (1 + a/ik)l(l - a/ik) = (ik + a)/(ik - a). (1.2)

Пусть при 3; < О в среде с волновым числом к имеется сетка с шагом /. Воспользовавшись решением и разностного У Г, полагаем

и = [ехр(1ку) + 11ехр(-1ку)] [1(1.2а)

COSK/ = 1 -А:/2. (1.26)

Разностный аналог условия (1.1) запишем в виде

[u(y-l)-u(y-l)2alu(y)]yo =0. (1.3)

Подставляя W в (1.3),имеем

ехр ( с/) + iTexp ( с/) - ехр (-1к!) -iTexp ( с/) +

+ 2cd(i + v) = 0. (1.4)

Откуда

v= (/sin/c/+ /)/(/sin/c/-а/).

При / ->0 имеем к -> к и ii -> v.

Краевому условию (1.3) можно удовлетворить, используя самые различные схемы вычисления поля: ЯС, КН и др. Конечно, в волноводных задачах волна падает на границу под некоторым углом 7. Тогда волно-

Барашенков B.C. Сохраняется ли энергия? Знание - сила. 1983. № 1.