растут трудности адекватного представления такого расплывающегося импульса на дискретном множестве узлов сетки. Растет само число узлов, необходимых для этого, а эффективность вычисленного процесса существенно падает. Повьпиение числа измерений задачи и соответствующее увеличение размерности числового массива на сетке приводит к новым трудностям, имеющим принципиальный характер. Это в полной мере относится к моделированию происходящих в двумерных и трехмерных волноводах волновых процессов, зависящих от времени.

Так, например, короткий импульс длительностью меньше одной десятой доли секунды на точечном излучателе растягивается во времени, пробегая трассу в реальном подводном звуковом канале. Он, как правило, удлиняется на одну секунду, проходя каждые 100 км трассы. И если его вначале можно бьшо описать на сетке, имеющей во времени некоторое число узлов М, то на расстоянии 100 км уже понадобится число узлов 10 М, а на расстоянии 1000 км 10 М. Это представляет большое неудобство. Кроме того, при численном моделировании волновых полей вместо теоретического интегрального представления импульса или его огибающей используются представления в виде конечной суммы или дискретного ряда Фурье. Ядро ряда - периодическая величина, сам ряд - периодическая функция. Поэтому, учитывая периодичность ряда, приходится принимать во внимание с увеличением длины трассы опасность вторжения в волновод ложных периодических импульсов, обязанных своим появлением дискретизации задачи и замены интегралов Фурье конечными рядами с периодическим ядром. Чтобы этого избежать, надо сразу брать сетку с достаточно большим числом по времени (по г) узлов, а интеграл Фурье аппроксимировать суммой со значительным числом членов. Все это очень неудобно, неэффективно при вычислениях.

Конечно, если функция расплывается, то для ее описания необходимо либо брать больше узлов сетки с постоянным шагом, либо, если ее расплывание сопровождается сглаживанием и потерей высокочастотных компонент, то можно, ограничившись прежним числом узлов сетки, менять только шаг между узлами. Поскольку расплывание происходит как во времени, так и в пространстве (т = х - СоГ),то изменение шага между узлами эквивалентно введению некоторой нерегулярности в волноводе, связанной с неравномерностью сетки. Поэтому, хотя оба пути (спектральный и сеточный с неэквидистантно расположенными узлами) и использовались в программах, они были все же не совсем удобны при численной реализации.

Расплывание импульса в волноводе связано с тем, что волны, обусловленные характеристикой направленности излучателя, нормальные волны, лучи и другие компоненты, представляющие поле, идут по разным путям. Например, лучи, приходя в точку приема, проходят разные расстояния как в геометрическом смысле, искривляясь в среде и многократно отражаясь от границ волновода, так и запаздывают во времени, испытывая влияние областей волновода с разными значениями скорости звука. Физически ясно, что чем теснее, ближе группируются лучи, волны возле одного среднего луча, одной волны, тем меньшего расплывания импульса можно ожидать. Поэтому, если выделить такие семейства, группы лучей или волн, для которых расплывание импульса на трассе заданной длины будет незна-112

чительным (например, двукратным или трехкратным), то для описания таких импульсов потребуется всего лишь небольшое увеличение (удвоение или утроение) числа узлов сетки. Это вполне можно предусмотреть в программе.

Конечно, введение представления о 5-волнах как о узкоугловом приближении внутри широкого угла было бы неоправданным, если бы речь шла только о регулярных, слоистых волноводах. Волновая задача как для регулярного, так и для нерегулярного волновода линейна. Это означает, что выполняется аддитивность полей любых источников. Можно сложить частные решения задач для излучателей, обладающих различными узкими характеристиками направления. Иначе говоря, ненаправленный источник можно представить как сумму направленных, излучающих 5-волн. Поле в волноводе, регулярном или нерегулярном, будет суммой полей этих направленных источников. Однако, конечно, в нерегулярном волноводе узкий пучок волн может начать расширяться. Это означает, что, если в задаче ШЛ (2.9) ~-(х,у), то спектр функции /§(>), узкий в одних участках волновода, расширяется в других. Тогда уже не удается проводить с заданной точностью вычисления с крупным шагом h вдоль волновода. Шаг придется уменьшить, чтобы уменьшить ошибку. Хотя, конечно, сказать заранее, когда это необходимо сделать, оценить аналитически ошибку, расплывание 5-волн трудно. При программном, алгоритмическом рассмотрении такая задача выглядит более просто.

Рассмотрим пример, когда свойства волновода зависят от х. Оценим, как будет меняться траектория (у) 5-волн. Пусть при х < Xi sin ig = е, а при x>Xi sinTg = 61. Тогда cosi5 = l-6, cosi = I-61. Причем по закону Снеллиуса к (I + б) cos 15 = А: (1 -б) : к (1-е]). Таким образом, видно, что для малых углов и для малых значений параметров 6, 61 5-волны будут преломляться так же, как и обычные лучи или плоские волны на границе двух сред. Конечно, для оценки взято одно лишь сечение в окрестности у =7г/2. Если же при х< Xi среда характеризуется коэффициентом ер(у), при x>Xi 1 (у) >0, то в сечение х =Xi, где согласуются два волновода, имеющие различную неоднородность по у, т.е. различную слоистость, любые плоские волны будут рассеиваться, будут рассеиваться и 5-волны. В таком случае, чтобы сохранить узкоугловую направленность, необходимо снова рассмотреть задачу ШЛ уже для области x>Xi:

J ) + ке,г(у)Фп(У> = ппУ

Функцию /,.(з) (2.10) необходимо будет разложить в ряд по \ф],г затем оставить в разложении только те компоненты, для которых 1м < 5. Другие узкоугловые компоненты спектра необходимо будет учесть отдельно.

Вернемся к исследованию волновых процессов в волноводах. Рассмотрим снова волновое уравнение + ~ [(1 + )/о] = О (</? = ~ (.У)) > которое после замены u(x,y,s) = р (х, у, т) = Vехр (ikr) , т = X-S, S = Cot переходит в следующее уравнение для огибающей по х

и по времени функции V:

2ik дх ik дт УУ ik Ът

(5.1)

Предположим достаточную гладкость огибающей V{x, у, т) по х и по г. Тогда вторыми производными Ft можно пренебречь, а для операторов, содержащих первые производные, воспользоваться приближениями

1 Э 1 Э 1 Э 1 Э

( 1 +--+--) ~ 1------, (5.2а)

2ik дх ik Ът 2ik Ъх ik Ът

1 Э 2 Э

(1+ - ) - 1+ Т- (-2)

ik от ik от

После этого получаем ПУ для нестационарных, негармонических полей в виде

likVx + Vyy - (1/2 Л) Vyyx - (l/ik) Vyy г + 6F +

+ (k elik) Vr - (k e/lik) V = 0. (5.3)

Пусть (у) = 1 = const. Тогда в полосе 0<77г, л:>0, т> О можно найти решение (5.3) в виде ряда

К(х,г) = Хап sin (пу)Г(т + ах) ехр (f i3 х), (5.4)

а = (пее)1[к[2к(-пкеК2к)]], (5 5)

13 = (-n+e€l[2k(-nee)l(2k)]. Причем

V(0,y т) = f(T)Xan sin(ny), F(y) = Ха sm(ny), (5.6)

где /(г) , F(y) - заданные функции, характеризующие временную и пространственную зависимость сигнала в излучателе. Например, если д = = (1/N) sin(w Уо), то F(y) - точечный импульсный излучатель в точке у=Уо- Если V не зависит от г, то мы получим обычное уточнение ПУ (УГ1У). В случае нестационарной задачи мы имеем УПУ (5.3).

Убрав в (5.1) в скобках оператор д/дх, т.е. не учитывая вторую производную Vxx, мь1 приходим к обычному, или неуточненному, ПУ для нестационарной задачи

2ikVx + Vyy - ilik) Vyyr + keV + {ke/ik) Vj = 0. (5.7)

При = 1 находим решение (3.7) в виде (5.4), где

а = (А2НА:е)/(2Л) = е/2 + а2(2А:) , /3 = [-е/2 + г2(2А:) ]Л.

(5.8)