Если свойства среды зависят отх, у, то в окончательное ПУ с зависимостью от времени войдет производная <рх(ХуУ) Для слоистого волновода = ifiy) Пренебрегая в (4.10) второй производной vjj и производной К, получаем уравнение

likvx + vyy - (l/2ik)vxyy - (llik)vryy + kev - (4.11)

-(k€<p/2ik)vx(k€k)vr = 0,

Конечно, как и точное решение (4.5) волнового уравнения для импульса в слоистом волноводе, также можно найти и записать точное решение ПУ через интеграл Фурье, собственные функции задачи ШЛ, зависящие от непрерывного и целочисленного параметров а и п. Однако объем вычислительной работы при использовании формулы для Q(x, jy, г) будет чрезмерно велик. Ее нельзя использовать для вычисления волнового поля импульса в слоистом волноводе. Известно, что даже для гармонического процесса приходится ограничиться сравнительно небольшим числом собственных функций, низкими частотами. Что же касается целого семейства собственной функции Фп,а(У) зависящей от трех параметров, то вычислить их, разместить в памяти ЭВМ, а затем вычислить дискретный аналаг интеграла Фурье по а, избегая ложных волн, - задача совершенно непосильная для самых перспективных ЭВМ. Поэтому конечно-разностный подход к решению нестационарных задач в волноводе имеет принципиальное значение. Он важен не только с точки зрения расширения класса задач. Класс задач, описываемого выражения (4.5), достаточно широк как с точки зрения неоднородности сред, характеризующейся функцией р(у), так и при рассмотрении различных форм импульса. Однако только МКР позволит достаточно конструктивно приблизиться к численному решению этого класса задач, позволяя расширить его затем на нерегулярные во;шоводы.

Рассмотрим пример, когда в (4.11) const. Будем искать решение

(4.11) в виде ряда

F(x,>r)= i flr sin( /(r + a x)exp( 3 x), (4.12)

n = l

где v(0,y,T) =f(T) 2 fir sin( ,j) f(г)F(у), f(г) - дифференцируемая функция. Для точечного излучателя F(y) =S(y - Уо). Находим

кап = ( + к€)/(2к - пЧ2к + к€/2к), (4.13)

Рп = (- + к€)/(2к - п12к + ке/2к).

Если 6 = О, то 13 = -п/(2к- п/2к), что соответствует в случае стационарного процесса уточненному ПУ в гл. П1 с ошибкой е2 = Чз2/к-В УПУ (4.11) ошибка Е V32 ( - е) :. Это особенно важно при исследовании распространения узких импульсов в пространственно-узких углах, когда - ке.

Ограничение простейшими разложениями операторов (47) и (4.9) приводит к параболическим уравнениям, для которые в однородной среде < = 1 = const импульсы, идущие по лучам, соответствующим нормальным волнам, не расплываются. В таких волноводах нет внутримодовой

дисперсии сигнала (если Cq не зависит от частоты), а есть только между-модовая, когда импульсы, пришедшие по различным путям, в точке приема накладываются друг на друга и образуют своеобразную гребенку [1, 2]. В реальных слоисто-неоднородных волноводах все зубья гребенки расплываются, сливаясь друг с другом. Благодаря поглощению спектр импульсного сигнала с расстоянием обедняется. Сам же сигнал растягивается как во времени, так и в пространстве. Поэтому его можно описать на сетке с более кру 1ым шагом, а число узлов сетки как для начальной функции /(г), так и для сигнала, прошедшего определенное расстояние в волноводе, взять одним и тем же. Рассмотрим сетку с переменным шагом в волноводе. Вначале вернемся к кинематическому волновому уравнению (3.1) г? ** г ~ 0> имеющему решение в виде дискретного ряда Фурье

w(r,r?)= Z Р (т?)ехр(/? г)= 2д ехр0-5 г-/5 е ), (4.14)

причем величина р (т?) - спектральная компонента удовлетворяет уравнению

Рп(л)еПпРп = 0, (4.15)

Предполагая, что 5 = i /(1 + drj) = /т (г?), где

т(п)=\ +6т?. (4.16)

Вместо (4.14) имеем

и(г, V) = 2? (T?)exp(fV/m(r))= exp[/g (r - ег?)/т(т7)]. (4.17) п

Следовательно,

Рп(Л) ± ei\}ilm\v)Pnin) = 0. (4.18)

Получить уравнение (4.18) для спектральной компоненты р (т?) нестационарного волнового процесса удалось только благодаря тому, что в решение (4.14) входила разность г - ет?, от которой решение и (г, vi) зависит. Конечно, выбор величины 5, харжтеризующий шаг по г для нерегулярной сетки, и оценку расстояния т?, на котором выполняется приближенное равенство и (г, vi) - и (г, т?), можно выполнить только в процессе численного эксперимента, в особенности в волноводных задачах, к алгоритмическому рассмотрению которых мы перейдем.

С этой целью вместо интеграла Фурье в решении (4.5) возьмем дискретный ряд Фурье по спектральному параметру и положим

G(x,j;,r) =2р,(х,;;)елр(ад = 2 S (j;) X

Хехр(-/5р х + /5уг). (4.19)

Поскольку величина Q удовлетворяет уравнению (4.2), то величины удовлетворят уравнению

iiPv. + Р:уу + t>f>iy)P, = 0. (4.20)

т.е. вместо волнового числа к в ПУГ (4.20) стоит спектральный параметр % Величина р = 1 - где - собственные значения задачи ШЛ (4.14) фЦ- ер (у) пФп- Видно, что если раньше в (4.14) стояла в экспоненте разность т-ет], то теперь в (4.19) стоит разность т-хрп- Поэтому, переходя к сетке с переменным шагом по г и полагая = j() /т(х), т(х) = 1 + 5л:, находим новую величину

Q(x,y,T) = ХЕа Р,ф, (у) ехр[(-/?(°>р х + г)] =

= Щ{х,у)ехр[П1г1т(п)]. (4.21)

Поскольку (х,у) зависит от х согласно множителю exp[-i°рх/ т(х)],то имеем

Р. = -niP Pl 4x), Р = (-(ipllmU 2/(°)p /m )p.

(4.22)

Находим, что спектральные компоненты (значок v опускаем) в слоисто-неоднородном волноводе с нерегулярной сеткой по х удовлетворяют уравнениям

(Щт2дт)р тр Рууее,(у)р = 0. (4.23)

Если спектр достаточно узкий и группируется вокруг величины к, то полагая = + получаем

[2/ (к + t,) + 25тП А, + тру Рууе(к Г,) V(7) ? = 0. (4.24)

При =0, 5=0, т = 1 (4.24) переходит в ПУГ с волновым числом к. Пренебрежение членом р приводит к ПУ.

Мы рассмотрели спектральные представления негармонического волнового процесса в волноводе, сведя его к сумме гармонических полей в виде (4.19), но на сетке, неравномерной по параметру т = х -Cot. Тем самым видно, что введение неравномерной сетки по г эквивалентно неравномерной сетке по X и по Г. В сеточном приближении возможно искусственно создавать небольшую подконтрольную нерегулярность в волноводе. Такой прием позволяет уменьшить объем вычислений и избежать попадания в волновод ложных импульсов из-за периодичности ряда Фурье.

5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ В ВОЛНОВОДЕ В ПРИБЛИЖЕНИИ б-ВОЛН

Основные трудности при распространении в волноводе импульсов и сигналов нестационарных, негармонических волн хорошо известны. Даже короткий импульс без всякого заполнения или импульс в виде огибающей, заполненной некоторым синусоидным сигналом, расплываются в процессе распространения. Длина импульса растет пропорционально длине трассы, а первоначально заданный узкий пространственный спектр (спектр по параметру г) может расширяться по своему частотному диапазону, хотя высокочастотные временные гармоники быстро затухают. Соответственно