можно прийти к уравнению для огибающей V(t, i?)

К+бК+/А:бК=0, (3.15)

которая заполнена несущей синусоидой ехр( :г). Используя спектральное представление для

F(r,r?)=2(r?)exp(/r5), (3.16)

приходим к уравнению

qUri)(ik€qx ie smUrQviv) = 0. (3.17)

Когда e/lj < к, тогда огибающая достаточно плавная и может быть описана сеткой с шагом 1 > InX, где Л - длина волны несущей к = In/X. При этом шаг h при разностной аппроксимации (3.17) выбирается из условия устойчивости

е(А: + /-)/г<1, (3.18)

которе при 1г>к переходит в условие (3.10).

В реальных волноводах существенно не только расплывание импульса с увеличением пройденного им пути, но и затухание ряда его спектральных компонент. Поэтому можно предположить, что такой распльюший-ся импульс потерял некоторые спектральные компоненты, и его целесообразно описывать с более крупным шагом.

Использование переменного шага в волновых задачах вполне оправданно. На этом же достаточно простом примере рассмотрим применение сетки с переменным шагом 1

Ш = /г>(1 + ev/T) = >(1 + 5) = /(0) + ev/M, 5 = е/Т, (3.19)

Значит,

г = Го + ет? + klr (г})М = Го + ет? + А:Г + kerj, (3.20)

где к = О, ±1,... - ложные импульсы , идущие снизу. Первый из них соответствует значению к = -I. Для него т = Tq - Т = const, т.е. в область т>0 ложный импульс , какой бы он формы ни был, не попадает.

Поскольку 5у = 2nv/(Mlr), то /- = Inv/M. Теперь, когда шаг 1 меняется в зависимости от ??, будем искать решение в виде такой прямой волны и(ТуГ}) =/[(г - б17)/(1 + бт?)]. Это означает, что первоначальный импульс начинает искажаться и расплывается с ростом г}. Производя модельные исследования и меняя /?,Л/и 5, можно дойти до такого расстояния, на котором величина /-(т?) еще не очень портит одиночную волну. Если же волн много, как в волноводе, и каждая волна испытывает поглощение, то само уширение первоначального импульса, его растягивание (примерно до 1 с на каждых 100 км) и, как следствие этого, сглаживание позволяют предполагать, что растянутые и сглаженные импульсы можно описать с более крупным шагом, чем первоначальный, крутой и короткий (0,1-0,01 м) импульс, например от взрывного источника звука. Тогда предположение о сетке с переменным, зависящим от расстояния шагом вполне допустимо.

Поскольку й(г, 1?) = 2py(i7)exp[/i;r/(l + 5т7)], то величины Pv(v)

должны удовлетворять некоторому уравнению

pUn) + 1ф(п)е р,(г?) = О, (3.21)

где Jr = 2irv/M = const, (°) = 2пр1{М1<)) , г° = /- Неизвестную функцию ф (т?) необходимо найти из тех соображений, чтобы решение

Pv{yi) = P.(0)exp[(-/sin /? ?); ф(,п)с1г,] (3.22)

при малых значениях Ст ~* 0) имело вид

Pvin) = рДО)ехр[-/?р 6/(1 + 5т?)]. Откуда

/ ( )б?7? = т?/(1 + 57?), = 1/(1 + 5тг) - Stj/(1 + Srj) = 1/(1 + 6t?) . (3.23) о

Следовательно, в случае сетки с переменным шагом по т дифференщ1альное уравнение для величины рр(т?) имеет вид

/езш? ))

pUv) + -~--7-РЛп) = 0, (3.24)

/( )(]+57,)

И решение для и(т, т?) можно представить рядом w(r,T?) = 2?;(0)exp

a.V-/-er?)(l+5r?)-

(3.25)

4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО РЕШЕНИЯ В ОДНОРОДНОМ ВОЛНОВОДЕ И В СЛОИСТОЙ СРЕДЕ

Рассмотрим двумерное волновое уравнение

хх еф.У))Щт = 0. (4.1)

Для нас представляет интерес его решение в полуполосе х > О, О < у < удовлетворяющее краевым условиям и = О при у = О, тг и начальному условию, заданному либо при х = О в виде и (О, у, t) = /1 (у, t), либо при t = О (х, у, 0) = /2 (х, у). При изучении импульсов небольшой длительности, пока еще свойства волновода и среды не повлияли на формирование процесса во времени и в пространстве, можно считать, что как временная зависимость сигнала при х = О в точечном (или распределенном) излучателе, так и пространственная зависимость излученного импульса будут одинаковыми. По своей форме они идентичны. Поэтому, вводя переменную г = х - CQt, можно обе эти зависимости характеризовать финитной по г одной функцией /(г, у).

Полагая в (4.1) т = х - Cot, и(х, у, t) = Q(x, у,т) - V(x, у, т)е, для Q и К(х, у, т) имеем уравнения

2Qxr + Qxx + Qyy - е(х, y)Qrr = О, (4.2)

1 Э 1 Э \

t +---+---V + Vyy+ (4.3)

2ik Ъх ik Ът I

+ ifceJl+--F=0.

\ ik Ът

Пусть волновод заполнен слоистой средой = р(у). Рассмотрим для различных значений вещественного параметра а следующую задачу ШЛ:

V/(0) = . (a) = 0, (4.4)

где /a.nCv) \,п - собственные функции и собственные значения, зависящие от непрерывного параметра а и целочисленного параметра п. Тогда для слоистого волновода уравнение (4.3) имеет следующее решение:

Q{x,y. г)= 7 F(a)i;a V<, (У)ехр(/хч/ХГ7- ia+iaT)da = (4.5)

= / F(a)2a > a (у)ехр(/йгр аХ+/аг)с?д,

тт Рп,а - 1 - a~\J\ ,a\ i ) - любая функция с интегрируемым квадратом; а - коэффициенты обобщения ряда Фурье заданной при л: = О функции/О, т) = (2(0, т).

с оо

/(у, 7)= Б f Fia)a ф (}>)exp(ikт)da. (4.6)

Подставляя в (4.2) решение (4.5), находим

2аРп,а-ар1,аК,а-а-0, (4.7)

т-е. Рп,а = 1 - aWKi.a в параболическом приближении можно положить

s/n,a = V Ка-а + (2а) .

к параболическим уравнениям с зависимостью от времени удобнее перейти, используя уравнение (4.3). В случае медленного изменения огибающей V(x, у, т) в зависимости как отх, так и от г, пренебрегая вторыми производными по этим переменным в (4.3), вначале полагаем приближенно

/ 1 Э 1 Э 1 Э 1 Э

1+--+--1------, (4.8)

2ik Эх ik дт / 2ik Эх ik дт

I 1 2 Э

1+--1+--. (4.9)

V ik Ът > ik Эг

1 Э\ 2 Э

-- 1 +--

ik Ът> ik Ът

После этого из (4.3) сначала находим

2/А:К + 1 ----- - - -\xivVkeV- (4.10)

V 2ik Эх ik Ът I \

ik )