Рассмотрим уравнение для собственных фзшкций ф (у) задачи ШЛ + кеф)ф = fin ФЬ), ФЩО) = ( )(7г). (2.9)

Воспользовавшись методом формирования функции с заданным спектром, подробно изложенным в [47, 54] (см. гл. I), образуем на основании

некоторой функции /(у), /(у) = Sa i (y), имеющей разложение в ряд

Фурье

1 1 + ijXnlbfp

Видно, что при 1м 1 > 5 для достаточно больших р функция/§ (у) мала. Наоборот, при 1м 1 < 5 она имеет спектральное представление в виде суммы тех компонент разложения в ряд Фурье, для которых 1м 1 < 5. Понятно, что в качестве /(у) можно взять поле F(x, у) на любом фиксированном сечении волновода х - const.

Таким образом, вьщеление спектральной 5-полосы - это математический пЬдход к задаче о 5-волнах в любой среде. Здесь предположение о малости параметра б не нужно. Однако в случае, когда е мало и среда слабонеоднородная, тогда можно использовать локальное представление о плоских 5-волнах. Именно тогда можно говорить о квази-лучах с траекторией 5 , на которой величина Vyy + ke(y)V слабо отличается от нуля, при соответствующем превоначальном распределении поля на слое X = О, т.е. в начале волновода. Конечно, это будет волна (или группа волн), идущая только под одним углом или в его малой окрестности.

Для того чтобы учесть волны, идущие под другими углами, вместо подстановки и = Vexp(ikx), приводящей jiocne пренебрежения членом Vx к ПУ (2.1), воспользуемся заменой U- Кехр(/кх), приводящей к ПУ

HkV + Vyy + [А:б(з;) + к - /с] F= О. (2.11)

Меняя параметр /с, как это было сделано в разд. 1, можно получить группу 5-волн, распространяющихся в узком пространственном угле, биссектриса которого наклонена к оси волновода под заданным углом.

3. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Исследование волновых процессов, зависящих от времени, представляет более сложную задачу, чем исследование гармонических волн. Поэтому для выяснения принципиальных методических вопросов необходимо вначале рассмотреть наиболее простые модельные задачи.

Уравнение

t/ + ew = 0 (3.1)

называется кинематическим волновым уравнением. Если дано начальное условие

(0)=/(г), (3.2)

где /(г) - финитная функция, отличная от тождественного нуля на интер-

вале (О, 7), то решением (3.1), (3.2) будет волна

i(r?)=/(r-er?), (3.3)

распространяющаяся вдоль оси г со скоростью е = drldri под углом tgt = 6 к оси Г],

Введем на оси г сетку с шагом Ij: IjM = Т. Воспользуемся представлением и в виде дискретного ряда Фурье

w(r,r?)= 2 P.(r?)exp(/rU, (3.4)

() = 17 /(/гм)ехр(-/гЫ,

где = 2nium/M, т = = Inu/Mlj. Компонента Pi;(r}) ряда Фурье

при введении в (3.1) сетки с шагом(w) = [ (r+Z) - w (г -/-г) ]/(2/) будет удовлетворять уравнению

pUv)[iesm(Ur)nr]Pv(v) = 0, Р.(г?) 1г,=о =Р.(0), (3-5)

причем = 2пи/М, О < и < М- I. Если ввести сетку с шагом h по т?, то вместо (3.5) имеем уравнение

[Pu(rih)-p,(n - h)]l(2h) + [ie sm(Ur)lk]Pv(ri) = О, (3.6)

решение которого находим в виде

Pv(v)=Pu(0)exp(iKr}), (3.7)

suiKh/h = -6sin(5/) . (3.8)

В пределе, при /г -> О, находим к = -6 sin(5y/) . При -> О, /с = -eli; имеем

w(r, т?) = S/7jT?)exp[/(r - 6T?)5J =/[r - бт?]. (3.9)

На этом элементарном примере волновой задачи можно продемонстрировать аппарат спектрально-разностного решения более сложных задач о волновых процессах в волноводах.

Отметим ряд обстоятельств. Во-первых, выбор шага h в (3.6) должен быть таким, чтобы величина к была вещественной. Для этого должно выполняться неравенство

eh/l<l. (3.10)

В противном случае в (3.7) появятся экспоненциально растущие множители, которые исказят решение и приведут к неустойчивости. Если же положить efillj = 1, то /Су = = 5уб. Получаем волну w(r, т?) =/(г - бт?) без всякого предельного перехода /7- -> О, Л -> 0.

Во-вторых, совсем необязательно полагать и(т,0) = /(г). Процесс, описываемый кинематическим волновым уравнением (3.1) и его разностными аналогами, а также обычным волновым уравнением в среде, свойства которой не зависят от времени, является однородным по времени. Это означает, что любой сдвиг по времени не меняет решения уравнений.

Поэтому на сетке с шагом можно положить

б(г,0) = 5Кг-Го), (3.11)

где 5/(г - Го) - единичный выброс в узле сетки при г = Tq. Согласно (3.4) находим спектральное представление

1 М-1

-оТГ ехр(г(г-Го)1м)= (3.12) 1 1 - ехр[/(г - То)Ы sin[(r - To)U2]

М 1 - ехр[/(г - Го] sin[(r - ТоПгП]

Тогда сеточная функция /(г) = f(lm) дискретного аргумента т = Ijin может быть представлена в виде

/(г)= S {КтШт-Тт), (3.13)

Т.е. в виде суммы сдвинутых 5/-импульсов с соответствующими амплитудами. Поэтому достаточно решить задачу для одного 5/-импульса, например 5;(г), равного единице при Го = О, а решения всех других задач получаются просто сдвигом этого решения с соответствующей амплитудой и суммированием.

В-третьих, заметим, что при спектральном представлении решения w(r, 1?) в виде конечного дискретного ряда Фурье (3.4) решение будет периодическим. Вместо одной волны fir-evi) имеем целый ряд волн, отстоящих на оси г на период Т:

и(трТ,г})= S рДт?)ехр(/г + г5Ш =

= 2рДт?)ехр(/г +/27rs) = w(r,T?). (3.14)

Пусть нас интересует область на плоскости г, г? в виде угла со скошенным острием т7 > О, г = Г+ бт?. Тогда в ней сначала при О < т? < Г/б будет распространяться одна волна, например 5/(r-6i?), если /(г) = /(г). Затем при т? = Г/е, 1? = IT/e... в эту область снизу начнут вторгаться ложные волны 5/ (г - Т - ег}), 5/ (г - 2 Г - ет?). Смешиваясь с волной 5/ (г - ег}), в при сдвиге по г - с волнами 5;(г - бт? - г), эти ложные, возникающие благодаря периодичности дискретного ряда Фурье волны исказят искомое решение разностной задачи в интересующей нас области. Все это означает, что спектральное представление зависящих от времени волновых процессов в виде конечного дискретного ряда Фурье годится только для определенных расстояний, зависящих от параметров задачи и шагов сетки. В этом проявляется существенное отличие интеграла Фурье от аппроксимирующего его дискретного ряда. Интеграл Фурье, позволяющий представить финитную ф)шкцию в виде ее спектрального разложения, этих ложных волн не создает. Но вычислить интеграл возможно только при замене его конечными суммами с соответствующим периодическим ядром. Наконец, заметим, что, полагая в (3.1)

w(r,T?)= F(r,T?)exp(/A:r),