Глава rV

УЗКОУГЛОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ И В ВОЛНОВОДАХ

Много столетий физическая теория жила, тесно прижавшись к эксперименту. Она всегда следовала за опытом -сначала накапливались наблюдения, потом появились формулы. Но вот наступило время, когда их роли в значительной степени поменялись местами, -лидером стала теория.

B.C. Барашенков

1.МОДОВО-ЛУЧЕВОЕ ОПИСАНИЕ ПОЛЯ В ВОЛНОВОДЕ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Рассмотрим параболическое уравнение с постоянными коэффициентами

HkVx + Vyy + {к - /с2) F = 0. (1.1)

Для полосы х>0,0<у К-п оно при У{0,у) =f{y) имеет решение

V{x,y) = 2 fl sin( v)exp [-{-п +А: -K)/2ix]. (1.2)

V{x +Л)- V{x-h) Введем сетку с шагом /г по л: и положим-----. Дифференциально-разностный аналог ПУ имеет решение

F(jc,y)= Ъ anm{ny)exp{ipnx), (1.3)

(2x/h)smpnh = кЧ - . (1.4)

Решение (1.2) содержит под знаком суммы только экспоненты от мнимого показателя. Модуль их равен единице. Что касается решения (1.3) на сетке с шагом Л, то только те экспоненты будут иметь мнимый показатель, для которых Pnh вещественно и {к - - n)h/2x < 1. Члены суммы с номером а1, для которых Imp Ф О, могут расти экспоненциально с ростом х. Ограничение величины соответствующих коэффициентов д в разложении функции /(у) не может ограничить экспоненциальный рост. Для реализации численного решения необходимо вообще исключить экспоненциальный рост. С этой целью введем сетку с шагом / (М = тг) по у. Тогда для выполнения условия устойчивости Imp = О в случае ЯС для ПУ должны выполняться следуюпдие два неравенства:

\е -к \ h/2K < 1, \е -к -4 2 I h/lK < 1. (1.5)

Пусть к <к. Тогда из первого неравенства находим

h < 2к1(е -к) = hi, (1.6)

а из второго

h < 2к1\е - к -All I =2. (Ь)

* Барашенков B.C. Тень Вселенной Знание - сила. 1988. № 5.

7. Зак. 831 97

Если к} - к - 4 > О, то h2 hi и первое неравенство(1.6) сильнее, чем (1.7). В этом случае при заданных ку /с, / областью устойчивости для h будет интервал 0<h<hi, Если же к - - 4/1 < О, то находим

Н2 = 2/с/(4 2 -к +/с2). (1.8)

По-прежнему, если /г2 > /i, то первое неравенство сильнее. Оно и определяет область устойчивости О <Н <hi. Если 2 < /i, то О < /г </z2. В оптимальном случае, когда интервал устойчивости для И имеет максимальную величину, полагаем hi = Л2 При этом имеем

е - = 2/1\ (1.9)

Явная схема устойчива при О <h <к1, Выбор параметров /, /с, А: в явной схеме для ПУ определяет выбор шага h.

Рассмотрим снова решение разностного аналога ПУ (1.1). Воспользуемся сеткой с шагом h похп неявной схемой Кранка -Никольсона

2ix[V(xh)V(x-h)]l2h + HVyy-ik -K)V] + (1.10)

в квадратных скобках величины взяты при х ±h. Находим точное решение (1.10) (т.е. начальной задачи для (1.10))

V = Zfl sin(A2j)exp(z x), (1.11)

(2K/h)tgqnh = к -к - п\ (1.12)

Сразу видно, что (1.12) всегда вещественная величина и что экспоненциальный рост решения (1.11) вообще невозможен ни для каких Л, п. Следовательно, он невозможен и при введении сетки по 3; с любым шагом /. Схема КН (1.11) безусловно устойчива. Она работает при численной реализации на любой сетке. Поэтому теперь в отличие от ЯС можно некоторые коэффициенты в (1.11), (1.2) сделать малым и д Е, тцеЕ - заданные величины ошибки. Устойчивость от этого не пострадает, а члены ряда Eexpiiqx) так и останутся величинами порядка Е \ при любом х. Ввести ограничения на пространственный спектр функции f(y), характеризующий источник, - это значит сформировать характеристику направленности источника. При использовании как ЯС, так и схемы КН, характеристика направленности источника, т.е. значения коэффициентов д ряда Фурье функции /(у) никак не влияет на выбор сетки в волноводе. Однако отсутствие роста всех членов суммы в случае схемы КН можно использовать при вычислениях.

Обратимся к рассмотрению проблемы аппроксимации дифференциальных и разностных решений. Решение ПУ (1.2), (1.3) или (1.11) всегда будут приближенными, так как они получились благодаря выбрасьюанию в УГ (точнее, в ПУГ) второй производной Vxx - Никакими путями эту выброшенную производную уже не удается восстановить, однако можно оценить ее величину. Для этого требуется связать решения ПУ (1.1) с решением ПУГ

Рхх + 2(крх + Руу -(к - к)р = 0. (1.13)

Представим его тоже в виде ряда

р = 2fl sin( v)exp(ix\/P72 - (хк). (1.14)

Прежде всего положим п = По + aw, где к - nl = . Если По = ksinvo, то к = A:cosvo. Поэтому, задавая либо угол to, либо номер нормальной волны По, находим значение параметра к. Затем предположим, что По±то = = А: sin(to -+) Тогда приближенно получим 5+ = 5 = 5и то 1

5---- . (1.15)

к cosio

Разложим величины \/к - - /с, (А: -к- a2)/2/c в (1.14) ив (1.2) в степенные ряда при п = По

\/к -п -к = у/к -п1-2пот-т -к = -(тпо\-т/2)/у/к - п1 -- /s(2nommy/(k - nl) + ..., (1.16)

[е -к-{По mf]l2K] - (2awa2o -m2)/(2V~). (1.16а)

Члены - тпо1\1к - п\ в (1.16) и в (1.16а) совпадают. Следующие члены разложения имеют порядок {-h\\f - A2j/2(V)P), - aw/2V?Погрешность Е- - Пото/2(\/У = Пот/2к, Если т <По, По <К то ошибка параболической аппроксимации волнового поля внутри малого угла ±5 будет небольшой.

Таким образом, было выбрано узкоугловое приближение в виде поля б-волн, т.е. волн, направление распространения которых заключено внутри угла раствора 25 : to ± 5. Хорошо известно, что параболическое уравнение является одним из удобных способов описывать поля волн, распространяющихся внутри узкого угла в одном направлении. Поэтому имеет смысл исследовать поля 5-волн при разностной аппроксимации узкоуглового ПУ. Сразу же заметим, что 5-волны это не лучи, хотя как те, так и другие распространяются внутри узкого угла. Скорее можно считать, что это некоторое число нормальных волн, направление распространения которых незначительно отличаются по углу. Нас интересует задача, вычисления поля 5-волн с достаточной точностью и высокой скоростью.

Узкоугловое приближение является как бы антиподом широкоугольного параболического уравнения, применение которого достаточно подробно описано в литературе [84]. Оно основано на более точном разложении оператора \/к - п (или vX) в степенные ряды или в виде дробей. При этом точность контролируется числом членов разложения, а скорость вычисления будет та, которая получится. Понятно, что при смешивании внутри широкого угла нормальных волн самых различных направлений скорость будет сильно снижаться. В значительной степени она будет определяться волнами высоких номеров, идущими под крутыми углами. Чтобы этого избежать и увеличить скорость вычисления, не уменьшая при этом точности, и имеет смысл ввести узкоугловое приближение 5-волн. Конеч-

Работать с широкоугольным приближением - это все равно что вычислять интеграл от функции, которая на части интервала ведет себя плавно, а на другой части быстро осциллрфует. Осцилляции и приведут к излишнему мельчанию шага и к снижению скорости вычисления.