где в последней строчке записана сумма величин слева и справа. Как видно из (3.1), сначала в среде х < О мы берем одну прямую волну exp(ikx). Удовлетворяя условиям на границе, в среде х > О получим сумму двух волн а/1 + РГ. Второй волны не должно быть. Потому, полагая в среде X > О 61 = -Р , получим в среде x<OU = af + ЬГ . Так как при X < О волны af не должно быть, то, полагая при х <0 U = -af, получим поле в среде aif + . Процесс повторяем, образуя сумму всех волн в обеих средах. После несложных вычислений находим коэффициент отражения V и прохождение W

b-bi +... =(k-ki)/(k\-k,l a + tti +... = W=2k/ik + ki). (3.2)

Нетрудно убедиться, что метод последовательного прохождения волн сходится при условии

{к-к,У < 4кк (3.3)

т.е. довольно в широких пределах, когда 7б < i/ 6. Этот метод, как показано в [54], обладает ценным свойством самокорректировки в процессе вычисления. Он применим к волноводным задачам, так как позволяет обходиться без условия на бесконечность.

4. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДЕ

Не менее сложным вопросом, чем вопрос об удовлетворении с заданной точностью самого исходного дифференцированного уравнения, является вопрос о контролируемом однонаправленном поле волн в сеточном и сплошном волноводах, а также задача выделения поля обратных волн для последующего применения МППВ. Понятно, что все это необходимо сделать на сетке, не вычисляя собственных значений и собственных функций волновой задачи. Необходимо использовать только ее решение в разностном приближении: уравнения, хорошо аппроксимирующие поля однонаправленных волн.

Рассмотрим метод выделения прямых и обратных волн без решения задачи ШЛ. Метод основан на использовании ПУ повышенной точности, справедливых для более широкого угла (точность в процессе вычисления можно повышать). Пусть в волноводе имеется известное нам, т.е. найденное разностным методом, прямыми измерениями или любым другим путем поле и, состоящее из прямых и обратных волн:

f/(x)= 2(fl (v) + ЬпуНо(у)е-п) (4.1)

где Хп, йп, Ь , Фп{у) - неизвестные величины Дифференцируя (4.1) пох, находим

Ux(x) = 2/Vx;;(a/ -Ь е->/). (4.2)

Взяв в качестве начальных значений U(x) и Uix) при некотором значении X, например х = Хо (выбор начала координат не играет роли, так как

В дальнейших формулах величину Фп(У) РИ написании опускаем. * Если поле задано на сетке, то операцию дифференцирования заменяем на операцию образования соответствующего конечного аналога производной.

expX±ixo\/To) прото фазовый множитель в а и используя ПУ, находим

= +b )eN/, (4 3)

С = V + (4.3a)

C/; = 2/\Д;К - Ь ] (436) Дифференцируем и f/2jc еще раз по х:

Ul = -2Х К + Ь ] - (4.4а)

Ul = -2Х К - Ь,] (4.46)

Решая систему двух уравнений (4.4а) и (4.6) при любом фиксированном X, находим

F(y) = -2Х а 1/; Су)ехр(ЛГ). (4.5)

Чтобы найти функцию (у) = - Sд i О) exp(tx:\/X),необходимо решить уравнение

Ф (У) + 0)Ф = -О)- (4.6)

Решая его методом прогонки при условиях Ф(0) = Ф(я) = О, мы получаем поле прямых волн. Затем также находим поле обратных волн и, наконец, осуществляем проверку Ф + Ф~ = U,

Таким образом на основе рассмотренного метода можно контролировать однонаправленность поля, выделять поле обратных волн, использовать МППВ и уточнять полученное на сетке значение поля.

Что касается условий на источнике, то рассмотрим У Г с правой частью хх + уу ktv)U=8(х). Представим его решение в виде ряда

и = ЬпФп(у)М1ху/Хп1 /О) =2a Cv). (4.7)

Найдем связь коэффициентов аиЬ. Полагая

5(х) = / ехр(Цх) и U(x) = 7 F(yi)exp(ix)d. (4.8)

имеем

F (y) + (fc О) - = f(y) - . (4.9)

Если F(y) = Ба 1 (к), то а () = (а /2п)(к - ?). Подставляя <х {%) в интеграл и вычисляя его, обходя полюса (при % = \jtn), имеем

() = ; F0. )ехр(гл) = 2- -- X

27r(-2Vx; )

X( 0)exp(ixVr ) = ~ Е-М expCixv). (4.10)

Ъ \1\

Если рассматривать однородное УГ f/ ) + + /t (у) = О с условием на границе U\,y) =f(y) = Бд , tS получим

£/<°>(х,>)= 2a i (K)exp(JxVx;;). (4.11)

Следовательно,

Ux{x,y) = 2lA<\x,y). (4.12)

Пусть необходимо по заданной величине U\x, у) найти U(x,y). Тогда можно избежать интегрирования (4.12) по х, если воспользоваться соотношением

Uyy+k(y)U тх.у), (4.13)

Интегрируя уравнение (4.13) снова методом прогонки уже по у, легко находим при любом X формулу

2X b exp(ixVr ) = -ЙЕ/чА;а ехр(£хч/Г ). (4.14)

Окончательно получаем, что Ь = а /(2/\/>), как это и должно быть. Понятно, что U(Xy у) можно найти в одном или в двух соседних сечениях, например при х = О, х = И. Затем, используя сеточные методы, можно решать начальную задачу и найти разностный аналог поля для 5-источника в правой части УГ.

Как было показано в гл. I, в сеточном волноводе, когда не используются лучевые представления и нет вычисленных нормальных волн, значение поля вблизи направленного источника (а <х <:h) можно связать с его характеристикой направленности по углу р (п) :

50->о) =

p(n)exp(in(y-yo)). (4.15)

Разложение в ряд 5-образного локализованного источника можно осуществить либо как в однородной среде: ехр [in(у - Jo)], либо по собственным функции однородного волновода: sin(ny) sin(nyо), Выбирая соответствующим образом характеристику направленности - функцию р (п), можно получить поле вдоль соответствующих лучей , т.е. максимумов р(п). Однако подобрать характеристику направленности излучателя так, чтобы волновое поле локализовалось вдоль лучей , или, чтобы волны не уходили из канала, можно только приближенно. Вследствие волнового подбарьерного эффекта просачивающиеся волны все равно будут покидать канал. Этот эффект в лзевом геометрическом приближении не проявляет себя, а в сеточном расчете поля он присутствует и может быть оценен.

Можно рассмотреть задачу, как наиболее точно задать поле на источнике, чтобы на достаточно протяженной трассе учитывать только поле в канале. К ее решению ведет следующий путь. Вначале в точке, где находится излучатель, в сечении л: = О (ив соседнем сечении х = h) берем просто разностную 5-функцию, т.е. единичный выброс. Пусть волновод занимает полосу а <у <п - а. Его окружаем двумя полосами О <у <а, п - а <у <7Г шириной а. Эти полосы считаем некоторым околоволноводным пространством, областью, попадая в которую волны уже не возвращаются в волновод, поглощаются и выбывают из игры. В программной реализации их легко устранить, обращая поле в нуль на двух соседних нормальных сечениях в околоволноводном пространстве. Затем, вычисляя поля вдоль волновода и пройдя некоторую трассу L, можно в случае необходимости снова возвратиться к излучателю, используя ту же самую устойчивую разностную схему, и получить поле при х = 0,х = h. Такой алгоритмический метод формирования необходимой характеристики направленности годится для любого источника, сосредоточенного или распределенного в среде или на границах волновода, а также для нескольких источников. 96