теоретических формул. Да и не всегда такие формулы удается найти и оценить их точность. В общем случае алгоритм конечно-разностного решения состоит из сетки, схемы на сетке и начальных условий, с которых начинается счет. Такой алгоритм используется для решения сложных задач в различных областях физики. Его можно применять и для волноводов, заполненных неоднородной средой с неровными, рассеивающими и поглощающими границами, для сложных направленных излучателей, для решения прямых и обратных задач, для задач цифровой голографии.

Вопросы точности очень важны. В случае сеточного алгоритма необходимо знать, с какой точностью разностные уравнения аппроксимируют исходные дифференциальные, как поле представляется в виде прямых и обратных конечно-разностных волн, как выполняются условия на источнике, на границе, где свойства среды имеют разрыв. Необходимы оценки ошибки на протяженных волноводных трассах и сравнение конечно-разностных решений с решениями, полученными другими методами. Все эти вопросы исследованы в работах [47, 50, 74]. При этом проблема оценки погрешности и повышения точности имеет особенно важное значение для тех задач, теоретические решения которых найти не удается. Не всегда удается также получить исчерпывающее математическое доказательство. Чаще приходится полагаться на машинное моделирование, численный эксперимент, тестирование вариантов более простых, чем общая задача. Оказывается, например, что наиболее существенные свойства разностного алгоритма, точность и скорость решения волновой задачи можно оценить на примере слоисто-неоднородных волноводов [43, 50] и даже в самом простом случае, когда волновод заполнен однородной средой. Рассмотрим 3toT случай подробнее.

Пусть в полуполосе х>0,0<у<пимеем уравнение Гельмгольца (УГ)

хх+А: =0, = const.

При условиях и (х, 0) = м (х, п) = О, U (О, у)= f(y)= Х д sin (пу) нахо-ДИМ поле в виде бесконечной суммы нормальных волн

оо

U(x, у)= an sin (пу) ехр (ix (1.2)

,1= 1

Если f(y)- функция с ограниченным спектром, то

и (X, у)= S an sin (пу) ехр (ix y/F). (1.3)

п = 1

Пусть TV : = б< 1. Тогда решение (1.3) содержит только однородные нормальные волны, распространяющиеся внутри угла ±6:6= N/k=y/€ UonггaяU(x,y)=V(x,y)e, приходим к преобразованному уравнению Гельмгольца (ПУГ)

VxxVyy2ikVx = 0. (1.4)

Пренебрегая в (1.4) второй производной V, приходим к параболическому уравнению (ПУ) 82

Vyy2ikVx=0, (1.5)

имеющему решение

V (х, у)= йп sin (пу) ехр (-ix n/lk). (1.6)

п = 1

Поскольку имеет место разложение у/Р-п = к - V2 /к - Vs п/к + + Vi6A2VA:+..., то

с/(х, y)-V (х, 3;) ехр (/А:х) : 2 д sin (дг;) [ехр (ix у/к-п) -

п = 1

- ехр (/А:х - ixn/2к)] 2 д sin (д?;) ехр [ikx п /(S к )]. (1.7)

Разность (1.7) мала при условии кхп /(S к)< I. При этом в фазе ехр (ix\Jk-r?) : ехр \ikx - (п /2 к) г/:х + ( /8 к ) ikx\ мы допускаем ошибку £ порядка (п\Zk)kx. Полагаем ехр [-tow */(8 *)] - 1 : СП -ikxnKZk). Если

AzV/: < AVA: = e то = £- 3, = Vs

Даже в этом простом примере мы сознательно завысили ошибку, предполагая, что вся волновая энергия сосредоточена в одной моде TV-ro порядка. В более реальном случае можно предположить, что волновая энергия равномерно распределяется по всем модам. Тогда

1 \ кх \ кх кхе

S? < - 2 кх--=--- S --т--=-. (1.8)

7V =i 8 NSk N Sk 5 40

Кроме ПУ можно рассмотреть еще уточненное параболическое уравнение (УПУ). Запишем (1.4) в виде

2 /А: А + --- + Uyy = 0. (1.9)

\ 2/ Эх /

/ 1 Э \ , 1 Э

Раскладывая в ряд оператор (1 +--1 = 1 ---+ имеем УПУ

\ 2ik Эх/ 2ik Эх

2ikU уу-~ Uyyx = О (1.10)

и его решение

°° / ixri \

Щ.,у) -Е а sin Ш ехр (- , , J- (1Л1)

5+1

Для больших 7V [35] L ---

=1 ~ +1

Поскольку---- =--- +--------- + ..., ТО

2к (1-п/4Л) 2к 8 к* 32 к

Еупу = Чпу =

Теперь перейдем к сетке с шагом / по оси yiNol = n) и с шагом h по оси X и рассмотрим различные схемы на сетке: явную схему (ЯС), схему Кранка-Никольсона (КН), обычной (ЯСз, КНз) и повышенной (ЯС5, KHs) точности, т.е. при аппроксимации производных на трех и на пяти узлах сетки.

Прежде всего отметим, что вместо собственного значения дифференциального оператора д/ду мы имеем следующее собственное значение (-.4 ) sin (п1/2)(п- 1,2 ...No) разностного трехточечного оператора:

L]U(y)= [U(у I) - 2 lHy) - и{y-l)]ll\

Таким образом, при введении сетки по с шагом / и аппрокси<мации второй производной конечной разностью приходится аппроксимировать дискретную функциюфункцией 4 1sin(п1/2) на интервале К п <По (NqI = я) или на меньшем интервале 1 < < А< А/о, где N - число учтенных

нормальных волн. Обозначим = - . Тогда имеем

fo=n/Nl=\

д = 4-2sin2 57r/2 = 2-(l-cosg7r) = vP(g),

/2=з(Ю-7з[ V4(2?)], (1.12)

/3=Vio(l)-Vio[ V4(2?)] +Vio[ V9(3?)],

/4 = V35 (I) - /35 [V4 (2 5)] + V35 [V9 (3 ?)].

Функции /0-/4 приведены на рис. Ы. Формула для Д-Д получена в соответствии с правилом многоточечной аппроксимации второй производной по методу Ричардсона [74]. Например, для пятиточечной аппроксимации (функция/2)

C/3L,-/3Ll,)U(y)=Vsl-[U(y + f)+U(y-l)-2U(y)] -

-[1-(4-3)] [U(y+ 21) +U(y-2l)-2U(y)].

Погрешность аппроксимации параболы /о = п/о = 1 функциями /1-/4 будет тем больше, чем ближе к правому концу интервала и, т.е. при Если жеМ<Мо и /к = е< I, то, например, для/2 имеем

Л = 7з [(2 )(l-cosn/)] - Уз [(l/2/)(l-cos2n/)] ~ ~n+n4V30. (1.14)

Следовательно, погрешность в фазе будет

1хк-{Гг-п)~1кх - [(/2-и)/2 е] ikx, (1.15)

£ ,5 = [TV*/ /(30 2 к)] кх = [Nlik 60)] (klfkx = (ебО) (klfkx.

Для явной схемы, рассмотренной ниже, значение kl ограничено снизу 84