с ростом р при Ро ~ (1 + 2у)/у неравенство (32) уже не выполняется. Поэтому только при О < р < ро вычисления по ЯС для ПУГ будут устойчивы. Объем вычислений и время счета определяются в основном количеством операций в узле и, конечно, числом узлов.

Можно использовать для ПУГ неявную схему Кранка-Никольсона. Эта схема позволяет снять ограничения на шаг / снизу. Данное обстоятельство имеет важное значение в тех случаях, когда среда в волноводе по его нормальному сечению изменяется достаточно сложным образом и для лучшей аппроксимации необходимо брать шаг / достаточно малым.

Схема КН - схема с усреднением - требует применения метода прогонки. При реализации метода прогонки необходимо ввести ряд новых операций в каждом узле сетки, включая операцию деления, значительно более трудоемкую для ЭВМ (в 5-10 раз), чем операции умножения и сложения. Поэтому, переходя к схеме КН, можно было бы ожидать, что эффективность вычислительного процесса снизится в 10-20 раз. Ценность схемы КН упадет из-за необходимости выполнять новые сложные операции в каждом узле сетки. Однако по ряду обстоятельств этого не происходит и эффективность вычислительного процесса не снижается. Убедимся, что это действительно так.

Вначале рассмотрим схему КН (1.1) для ПУ с переменным коэффициентом ip(y). Запишем ее в виде

2ik [ V(x + Л) - V(x - h)] I2h + Ll у Vyy + e e(y) V= 0, (3.3)

где знак Л над функцией Q(x, у) по-прежнему обозначает операцию усреднения

д(х, J) = и Ш(х +h.y) + Qix - h. у)]. (3.4)

Схема (3.3) шеститочечная; прежние значения V{x --hy у), V{x - h, у ± Г) и новые искомые значения V(x + /г, j, VQc - h, у ± 1) связаны в шести узлах: х ~ h, у\ х - у ± 1, х у\ х у ± I, Поэтому, чтобы найти новые значения на слое х + /г, необходимо применить метод прогонки. Запишем уравнение (3.3) относительно новых значений так:

(ik/h) V(x + Л, :и) + А [к еф) V(x + Л, jn) - (2 ) V(x + Л, у)] +

+ F(x + /г, :и + О + V(xKy-l)= (ik/h) V(x -К у)- (3.5)

- Л [е eiy) - 2Г ] V{x -К у)- [V{x-Kyl) V{x Ky-l)].

В левой части (3i) собраны неизвестные величины, которые предстоит вычислить методом прогонки. С этой целью запишем (3i) еще так:

V{x + /I, y)aV{x-KyVl)VV(xKy~-l) =

= V{x-Ky)a - Vix-Ky-vl)- V{x-Ky-l), (3.6)

a = a(y) = [ik/h + kеф)/2 - 2Г ; 3

a=[~ ik/h + e еф)12 - 2Г ]l\ Пусть на границах у = О, = тг поле обращается в ноль:

К(х,0) = 0,К(х,7г) = 0,К(х±/2,;;)з,=о,л=0. . (3.8)

Следуя методу прогонки [47, 75, 88], полагаем

V(x Kyl) = p(y)V(xh,y)q{y), (3.9)

где р{у), q(y) - новые неизвестные функции дискретного аргумента у. Начнем оценку объема вычислений с конца решения задачи. Если бы функция р{у) vi q(y) были известны, то, чтобы найти новое значение V{x h, у 1) в каждом узле, необходимо согласно (3.9) выполнить одно умножение и одно сложение: (х +).

Найдем уравнения, из которых можно определить функции дискретного аргументар(у) nqiy) .Из (3.9) имеем

V(x-Ky-l) = [V(x+h,y)-q(y~l)]/p(yl). (3.10)

Подставляя (3.9) и (3.10) в (3.6), получаем

[а(у) P(y)llpiy- 0] V{x Ку) [Fiy) q(y)-

-q(y-l)lp(y-n] =0, где

F(y) = a(y) V{x -h,y)V(x-h,yl)V(x-Ky-l). (3.12)

По условию задачи величины а (у), V(x - h, у), V{x -h, у ±t) нам известны. Поэтому, чтобы вычислить функцию Fiy) в одном узле, надо согласно (3.12) выполнять одно умножение и два сложения: (х + +).

Уравнения для функции р п q мы получаем, приравнивая к нулю выражение в квадратных скобках (3.11):

О)+рО)+1/рО-0 = 0, (3.13а)

q(y)-q(y-l)p iy-t)F{y) = 0. (3.136)

Эти уравнения нелинейные, двухточечные, т.е. р и q связаны в двух точках у иу - I. Оба уравнения необходимо решать на сеточном отрезке О < > < я. Следуя методу прогонки, полагаем р(п - 1) = q(n - 1) = 0. Тогда согласно (3.8) имеем V(x + Л, я) = 0. Одно граничное условие (3.8) удовлетворяется.

Полагая в (3.13а) = я - /, р(п -0 = 0, находим р(я - 2/) и затем р(я - 30.. .р (0). В (3.13а) входит только а (у) или согласно (3.7) только функция ifiy), характеризующая заданную слоистую неоднородность среды. Поэтому при фиксированных шагах сетки I, h и параметрах к, Е величину р {у) можно найти на сеточном отрезке О < < я- независимо от поля. Затем при вычислении поля использовать ее на всех шагах х = /г, 2h... по оси волновода. Понятно, что объем вычисления функции р(у) на одномерной сетке мал по сравнению с объемом вычисления поля на всей двумерной сетке, и его можно не принимать во внимание.

Найдя р(у) и зная F(y), q{y), находим функцию q{y) уже из уравнения (3.136) , которое запишем в виде

qiy -1) = Р(У- 0[q(y)F(y)]. (3.14)

Функцию q(y) вычисляем последовательно в узлах я - 2/, я - 31. На это требуется в каждом узле всего одно умножение и одно сложение: (х +).

Для нахождения р(у) и q(y) бьша выполнена обратная прогонка , т.е. расчет от конца интервала (у =я) к его началу (у = 0). Теперь,используя формулу (3.9) и подставляя в нее условие на границе V(x у)\у =0,

выполняем прямую прогонку и находам функцию V(x + /г, у) во всех узлах;;=/, 2/. 1).

Видим, что общее число операций, необходимых для вычислений по схеме КН равно семи: три умножения и четыре сложения в каждом узле. Напомним, что при использовании ЯС потребовалось в каждом узле выполнение двух умножений и трех сложений. Поэтому схема НК для ПУ по объему вычислений всего на 40% превосходит ЯС.

Это очень обнадеживающий результат. Не в 10-20 раз больше, как предполагалось, придется затратить машиносчетного времени, а только на 40%, несмотря на то что используется весьма трудоемкий метод прогонки. Конечно, сетка в обоих случаях одна и та же и число узлов тоже одинаково как в ЯС, так и в КН.

Если же перейти от ПУ к ПУГ, то объем вычислений для ЯС не изменится. В схеме КН придется ввести величину AV(x, у) на среднем слое сетки, умноженную на некоторый вещественный коэффициент А. Эта величина войдет в (3.12) при вычислении,.функции F. Прибавится еще одно умножение и одно сложение. Трудоемкость схемы КН для ПУГ будет вдвое превышать трудоемкость ЯС.

4. УТОЧНЕННЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Хорошо известно, что ПУ получается при аппроксимации - дг выражением к - /2к. Возможны и другие аппроксимации \/Г+Т; например такое:

(1 +012)0+022)

VT + z--. (4.1)

(l+/3iZ)(l+/32Z)

После логарифмирования находим

Yi\n(l +z) = ln(l +aiz)+ln(l +a2z)-ln(l +/3iz)-ln(l +/32z). (4.2) После разложения в ряд получаем

H(z - z/2 + zV3 - zV4 + . . .) = aiz - a?z/2 + a?zV3 + . .. + -

-OiWll-,. .-Pxz-PW/I-,. .2Z +/3lz/2 -zV3 + . . . Откуда следует система уравнений

а, + 2 + ...-1 -/32 =4

Если 01 = 2 = ii = 2 - О, TO остается только одно уравнение,из которого находим 1 = т.е. \/ТТ= 1 + z/2. Если = 2 Рз = О, то из двух первых уравнений (4.4) получим а = 3/4, ]3 = 1/4. Следовательно,

1 - V4 пУк 1 и 1 И*

--::r,--7r--zTTr--- (4-5)

1 - V4 пУк ?, к 32 к