Резка промышленных проемов: www.rezkabetona.su 
Навигация
Популярное
Публикации «Сигма-Тест»  Моделирование волновых процессов 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

в ЯС использовалась величина а = yV{x, у) + кесУ- В схеме Кранка-Никольсона вместо нее взято среднее значение этой величины на слоях X + Л и X - /1. Поэтому, если ЯС была пятиточечной схемой, в которую входили значения К(х, у) в пяти узлах: х, у \ х ± h, у\ х, у ± I иг трех слоях: X - /г, X, X + /г, то КН (1.1) является уже шеститочечной двухслойной схемой. Это означает, что значение К(х, у) входит в (1.1) в шести точках: X И, у; X - h, у ± I; X h, у; X h, у ± I т двух слоях:х - Л их + /г.На новом слое X + /г необходимо найти значения К(х+/2, у), которые связаны уравнением (1.1) , в трех узлах: х + /г, - /; х + /г, х + /г, + /. Они также связаны со значением V(x - у) в трех узлах на предыдушем слое х -И. Если в ЯС на новом слое х + Л необходимо было найти значения поля в одном узле (в пятом узле) , выраженном в явном виде через уже известные, вычисленные прежние значения в четырех узлах, то в НС, схеме КН (1.1) все новые значения можно найти на слое х + /г сразу во всех узлах. Это можно сделать, только решив трехточечное уравнение на этом слое и удовлетворив краевым условиям на границах у = О, у = тг. Подобная операция под силу хорошо известному алгоритмическому методу прогонки [88]. Сама же необходимость решать уравнение для продвижения по сетке вдоль оси волновода означает, что схема КН (1.1) является неявной схемой.

Рассмотрим устойчивость схемы (1.1) . Полагая

К(х, y) = i: йп sin (пу) ехр ( с х), (М = тг), ехр ( с /г) = Л, 1

приходим к характеристическому уравнению

Л(Ф + 7Р) + Л- (-ip + 7Р) = О, (1.2)

р = кИ,у=Л [ес - (4 ) sin (nl/2)]. (1.3)

При любых значениях р и 7, т.е. при любых к, И, е, кр, I из (1.3) следует, что lAj 2I = 1- Схема КН (1.1) для ПУ безусловно устойчива. Никаких ограничений на Л и / нет. Точность тоже может быть любая. Однако само ПУ всего лишь приближенное описание волновых процессов, подчиненных У Г или ПУГ.

Исследуем устойчивость схемы КН для ПУГ. С этой целью к (1.1) необходимо прибавить разностный аналог Кд-д.. Имеем

[V(x + Л,;;) + К(х- h, у) - 2F(x, у)] /h + = О, (1.4)

где TV - выражение (1.1). В (1.4) появился luien 2К(х, y)/h, взятый в узле X, у на среднем слое х. Поэтому схема (1.1) уже семиточечная, трехслойная. Она по-прежнему неявная, так как связывает значения V(x + + К у), У(х + О, V(x + h, у - 1) в трех узлах. Анализируя ее устой-

чивость, вместо уравнения (1.2) получаем такое уравнение для А:

А(1 + ф + ур)- (1 - ф + 2 = 0. (1 5)

Находим корни Ai 2 уравнения (1 5) :

Ai,2=(l±V/(l++7p), (1.6)



где л = 1 - (1 + ypf - р = 2ур - ур - = -р\\ + 27) ур = = -(ур + 1) + 1 - , причем

1 + U I =1 +7 +27р (1.7)

Поэтому при условии, что л < о, имеем lAi 2 ~ 1 схема КН для ПУГ (1.4) устойчива. Само же условие Л < О можно реализовать двумя следующими способами.

1. Если р > О и у > - А (при = 0) . Это выполняется при kl>2. Схема (1.4) устойчива при любом , если kl>2.

2. Если р > 1 (kh > 1) , то Л < О при любом 7, т.е. при любых к, е, <рсу Схема КН для ПУГ устойчива при любом / при условии kh> I.

Условная устойчивость схемы КН не является помехой для повышения точности вычисления. Так же как в случае ЯС, можно применять многоточечные схемы по у, аппроксимирующие вторую производную Vyy все с большей и большей точностью на той же самой сетке с шагом /, так и в случае КН можно применять многоточечную схему, аппроксимируя производную Vxx с повышенной точностью на сетке с тем же шагом /г, ограниченным снизу неравенством kh> I. Как правило, гладкость среды в направлении вдоль оси канала волновода более высокая, чем в поперечном. Кроме того, само волновоеоле одного локализованного излучателя на разрезах вдоль волновода меняется более плавно, чем по нормальному сечению. Поэтому многоточечная аппроксимация Vxx может дать большую точность, чем аналогичная аппроксимация Vyy в явных схемах.

2.0 ПРИМЕНЕНИИ ПОЛУЯВНЫХ СХЕМ

Остановимся на некоторых достоинствах неявной схемы КН. Рассмотрим также класс частично явных или полу явных схем. Если в ЯС нельзя было увеличить шаг h по х, то в КН это стало возможным. Открьшась возможность для повышения эффективности МКР в случае вычисления поля узкого пучка нормальных волн, т.е. распространяющихся по направлениям, отличающихся незначительным изменением углов. Не обязательно направление их распространения симметрично относительно оси волновода (см. гл. I). Узкий пучок волн может иметь любое направление своей биссектрисы внутри широкого угла, в котором необходимо выполнить вычисление поля, складывая поля в узких углах. Аддитивное представление поля в виде групп волн, имеющих узкоугловые пространственные характеристики, и использование схемы КН позволяют повысить как скорость, так и точность вычисления волнового поля. Это происходит благодаря тому, что оба данных параметра весьма существенно зависят от величины угла и быстро растут при его уменьшении, как правило обратно пропорционально кубу его величины.

Можно также совместить хорошие свойства ЯС и КН для ряда задач с нелинейностью в уравнении. Например, малый нелинейный член 51 КР К в УГ можно ввести явно в схеме КН на среднем слое х. Что касается других линейных членов, входящих в неявную схему, то они на слое х + h вычисляются методом прогонки.

Аналогично для слабонерегулярных волноводов имеем = ip(x, у) + + ip(y) + 5i (x, у). Если 5 мало,то член 8\pVB разностную схему КН можно



ввести только на среднем слое. Совмещая ЯС и схему КН,имеем Ll, x У(х, у) + 2ikhV(x, у) + Vyy + ееф) V + ке8ф(х, у)- + Vyy + 6(рО) к + А:€дф(х, у) К(х, у) = 0,

где знак Л означает операцию усреднения на двух слоях: х - К х - h.

Вычислительные преимущества при совмещении ЯС и КН проявляются в случае трехмерных неоднородных волноводов. Предположим, что неоднородность среды состоит из слоистой неоднородности вида e{z) и неслоистой вида Ъф{х, у, z), {Ь < ё). Тогда в соответствующем ПУГ будем иметь член e(z)V(x, у, z) + Ьф{х, у, z)V(x, у, z). Последний член можно учесть явным образом, что делает процесс вычисления поля более эффективным.

Повьпдение размерности задачи всегда увеличивает объем вычислений. Размерность может увеличиваться не только благодаря переходу от двумерных к трехмерным волноводам, но и при рассмотрении негармонических волновых процессов, зависящих от времени более сложно, чем в виде множителя ехр (- icot). Использование схемы КН и ЯС оказывается возможным при решении нестационарных волноводных задач для узких пучков негармонических волн, вычисленных в разностном приближении. Полуявные схемы, основанные на совмещении КН и ЯС, можно применять при вычислении частотно-пространственных характеристик, для статистических расчетов, когда необходимо учесть на трассе слабые случайные флуктуации среды в виде члена 8ф(х, у), где ф(х, у) - случайная функция. Снова член дфV(x, у) входит в уравнение явно, как и в пре-дьщущем случае, а детерминированная неоднородная среда характеризуется функцией eifiiy), влияние которой на поле учтено в схеме КН.

Таким образом, схеме КН присущ ряд достоинств Во-первых, можно устремить к нулю шаг /: / 0. Во-вторых, можно взять достаточно большим шаг h вдоль оси волновода. Можно совмещать ЯС и КН, конструируя различные полуявные схемы. Все это существенным образом влияет на класс рассматриваемых задач, повышает скорость их решения на существующих ЭВМ, увеличивает точность их численного решения. Однако вопросы, возникающие при решении методом прогонки трехточечных уравнений, входящих в неявную схему, необходимо исследовать более подробно.

3.ОБЪЕМ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ

Явная вычислительная схема, хотя и условно устойчива (kl > 2, h < < ho), однако она чрезвычайно удобна и эффективна благодаря своей простоте. Вернемся к ней еще раз. Используя обозначения (1.3) и полагая ехр( с Л) = Л, запишем характеристическое уравнение для ПУГ и ЯС в виде

Л(1 + ip) + Л- (1 - ip) + 2777 -2 = 0. (3.1)

Корни Ai 2 равны по модулю единице при условии

(7р-1-27)<0. (3.2)

Ппи kl > 2 условие (3 2) выпочняется для достаточно малых kh. Затем



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81



© 2010 www.sigma-test.ru Санкт-Петербург: +7 (812) 265-34-48, +7 (812) 567-94-10
Разработка и поддержка сайта: +7(495)795-01-39 после гудка 148651, sigma-test.ru(my_love_dog)r01-service.ru
Копирование текстовой и графической информации разрешено при наличии ссылки.