ках метода нормальных волн невозможны. Наклонное дно - клин в шель-фовой зоне, т.е. в зоне материковой отмели, вихрь, возмущающийся канал, трехмерная неоднородная среда приводят к тому, что МНВ не работает. В ЛМ при введении неслоистости сразу портится геометрия каустик. Они становятся сильно изрезанными, а в лучевом приближении поле на изрезанной каустике бесконечно. Оценка ошибки в ЛМ тоже принципиально невозможна. Оба метода - МНВ и ЛМ - имеют еще целый ряд недостатков. При использовании МНВ сложно вычислять поле распределенных и направленных излучателей, импульсных излучателей, а при использовании ЛМ нельзя рассматривать достаточно протяженные трассы, гидрологию с изломами и т.п. Поэтому появление новых численных методов было своевременным и связано с с)ацественной необходимостью в них.

От недостатков МНВ и ЛМ свободен метод конечных разностей: МКР. К основным свойствам вычислительных схем на сетке с помощью МКР можно отнести устойчивость, высокую точность решения задач, высокую скорость, универсальность. Используя разностную схему, ЭВМ проходит сотни миллионов узлов сетки. При этом все узлы проходятся в одном направлении - вдоль оси волновода. Это очень важно. Решается начальная задача для эллиптического уравнения Гельмгольца. А задачи такого класса не являются корректно поставленными задачами. Их решения неустойчивы. Они не зависят непрерывно от начальных условий и могут неограниченно расти. Физически это означает, что в волноводе наряду с распространяющимися в обе стороны его оси однородными волнами присутствуют как затухающие, так и нарастающие неоднородные волны. Нарастающие неоднородные волны и дают неограниченный рост, неустойчивость поля.

Сошасно положению Адамара, некорректные задачи неустойчивы и их решение, вообще говоря, лишено физического смысла. Однако положение Адамара может и нарушаться. Это происходит тогда, когда класс рассматриваемых величин, компонент, объектов (в данной задаче это однородные и неоднородные волны) попадает в такое состояние, когда часть объектов - однородные волны - находят реальную возможность для прохождения всей трассы волновода, а остальные, неустойчивые (неоднородные волны) вообще не возникают. Если в дифференциальной задаче разделить оба типа волн сложно, то их разделение в разностной задаче происходит естественно и сравнительно просто. Неоднородные волны вследствие выбора шагов сетки в волноводе и схем, реатшзующих вычисления на сетке, вообще не возникают. Процесс счета получается устойчивым. Поэтому при решении начальной задачи малые изменения в начальных условиях и в гидрологии, т.е. в переменном коэффициенте уравнения, приводят к малым изменениям поля в волноводе. Непрерывность выполняется, и решение разностной начальной задачи имеет физический смысл.

Другое свойство МКР - это высокая точность вычислительных процессов. Она достигается также выбором сетки, а главное, выбором соответствующей схемы. Поскольку для устойчивости начальной задачи шаг сетки нельзя устремлять к нулю (иначе мы перейдем к дифференциальному уравнению и к неустойчивости), приходится вводить ограничения снизу на шаг сетки по вертикали для явных схем и на шаг сетки по горизонтали для неявных схем Кранка-Никольсона. Это, естественно, отражается на точности решения разностного уравнения по сравнению с диффе-10

ренциальным. Однако даже при таких ограничениях точность можно значительно повысить, аппроксимируя вторые производные не только на трех-, но и на пяти- и более точечных схемах. Добавление в разностную схему двух точек каждый раз незначительно увеличивает время счета, но повышает точность сразу на один-два порядка. Этого бывает вполне достаточно при сравнении расчетов с данными эксперимента или с точными решениями некоторых модельных задач.

Есхш же по каким-либо причинам использовать многоточечные схемы становится сложно, то возможен другой путь повышения точности. Обычно в оценку ошибки разностной схемы входит величина угла, внутри которого происходит распространение волн. Угол можно разбить на ряд углов меньшей величины. Такое разбиение соответствует аддитивному представлению исходного поля вблизи излучателя в виде суммы полей, каждое из которых соответствует узкоугловому пространственному спектру. Тем самым широкоугольные приближения в ПУ и в УПУ можно реализовать как сумму узкоугольных Приближений. Еши такой путь увеличения дает недостаточное увеличение точности, то можно перейти к вычислительным схемам регуляризованного уравнения, где на шаги ограничений вообще нет, наконец, решать краевую задачу, где любая точность достижима.

Таким образом, контроль точности и уменьшение ошибки происходи! либо при мельчании сетки там, где это возможно, либо путем миоп)точеч-ной аппроксимации производных поля, первоначально вычишенного на схе-мах с меньшим числом точек. Алгоритмический контроль осуществляется по результату стабилизации поля, например вертикального разреза поля. Возможны и другие пути повышения точности: решение уравнения с правой частью, с невязкой и др.

Часто бывает так, что построить схему легче, чем понять, как она работает. Особенно Приходится опасаться даже небольшой неустойчивости, которая. Приводя к росту решения, может понизить точность и вообще может испортить все. Поэтому говорят, что в разностных схемах, как и в некоторых житейских ситуациях, нет мелочей. Величину ошибки всегда важно знать. Если в МНВ и ЛМ оценить ошибку в общем случае бывает невозможным, то в МКР это удается выполнить сравнительно легко. Контроль точности и вычишение величины ошибки всегда связаны с повышением точности. Конечно, величина точности должна быть разумной. Не нужно при моделировании волновых полей осваивать шестой знак, так как эксперименты в океане и в других волноводах (твердотельных, ВОЛС) такой возможностью не обладают .

В гл. П1 рассмотрен универсальный метод контроля, удобный при решении любых волновых задач. Метод состоит в вычишении разностных аналогов Производных уже найденного поля, измеренного или вычисленного

Конечно, в нерегулярных волноводах волны, имеющие узкоугловой просфанствен-ный спектр вблизи излучателя, в процессе распространения, рассеяния на нерегу-лярностях постепенно превратятся в волновой пакете широким угловым спектром.

* Сушесгвует положение, что разностная схема должна давать любую точность в сравнении с дифференциальной задачей. Между тем любая точность в принципе недостижима и, вообще говоря, не нужна. Ее нет ни в асимптотических решениях дифференциальных задач, ни в самой модели волновода, ни в конечной разрядной сетке ЭВМ, ни в эксперименте.

на сетке. Разностные аналоги производных вычишяются по схеме, превышающей по числу точек схему, использованную в разностных уравнениях. Контроль точности осуществляется по невязке поля, возникающей вследствие применения различных схем (с разным количеством узловых точек) При аппроксимации производных.

Например, если в уравнениях используется трехточечная схема для аппроксимации Производных, то невязку - функцию на дискретном множестве узлов - можно вычисхшть при подстановке найденного на сетке поля уже в пятиточечную схему. Если затем эту функцию с отрицательным знаком отнести в правую часть уравнения, то она будет как бы соответствовать ложным источникам поля, возникающим из-за разностной аппроксимации. Их уровень, как правило, на 40-60 дБ меньше, чем уровень самого поля. Если же ошибку отнести в неточность коэффициента уравнения, например волнового числа или квадрата скорости звука, то это дает, как правило. Погрешность в определении скорости порядка 0,1%, т.е. 1м/с, что вполне достаточно для сопоставления с точностью, достигаемой в эксперименте.

Применение в уравнениях пятиточечных схем для производных, контроль вычисленного поля по семиточечным схемам при аппроксимации вторых Производных и оценки достигаемой точности показывают, что величина ошибки уменьшается еще на два-три порядка, в то время как объем вы-чишений увеличивается всего в 2 раза. В этом и состоит высокая эффективность разностных схем при вычишениях с повышенной точностью.

Кроме ошибок При решении цифференциального уравнения, которое заменяется разностным, могут быть ошибки при задании источника, его характеристики направленности. Конечно, в лучевом приближении любую не-правленность задать легко. Можно ограничиться, например, полем внутри граничных лучей, т.е. лучей, касающихся границ волновода. Другие лучи можно не учитывать, так как для протяженных трасс они ударяются много раз о дно и поверхность, рассеиваются и поглощаются. Для внутренних же лучей в геометрическом приближении исключается эффект над-барьерного просачивания волн к границам волновода и другие волновые явления. Это приводит к ошибкам ЛМ, особенно большим для протяженных трасс.

В МКР при решении начальной задачи учитываются однородные, распространяющиеся вдоль оси волновода волны. Однако для слоистой среды эти волны в поперечном направлении могут становиться неоднородными Ш1Я разных областей волновода и тем самым осуществлять перенос энергии из канала в канал (если волновод многоканальный) и из канала к границам волновода благодаря надбарьерному просачиванию. В лучевом приближении это невозможно. Хотя асимптотические формулы метода ВКБ весьма сложны, однако позволяют учесть этот эффект затухания поля в двумерном-волноводе. В случае трехмерного цилиндрического волновода излучение из-канала методом ВКБ учесть нельзя. Это можно сделать только при использовании МКР.

В приближении метода нормальных волн, исходя из условий волновод-ного распространения в канале, можно также учесть некоторое их число. Вблизи источника эти нормальные волны образуют поле, обладающее направленностью, хотя сам источник ненаправленный. Поэтому поле внутри