один из которых касается границы .у = О (t = -to), а другой - границы у = 7r(t = to)- Это так называемые граничные лучи. Если е < 1, то cos 1 - 6, sin to 0 =

Неоднородность среды определяет геометрическую картину лучей, как граничных, так и выходящих под меньшими углами. Если же вблизи источника сопоставить направлению лучей i> плоские нормальные волны, то приближенно п = /:sint . Следовательно, t = to = оА = V. Это означает, что если в плоском однородном волноводе шириной я может распространяться без затухания всего к нормальных волн внутри угла ±я/2, то внутри угла to будет распространяться всего о - kq = k\J~eнормальных волн. Чтобы их удобно было аппроксимировать в сеточной среде, можно ввести сетку с числом узлов N - 2по = 2/с\/ё7т.е. вдвое большим, чем учтенное число нормальных волн. В таком случае вместо 5 /(у - .уо)-функции Дирака дискретного аргумента возьмем функцию Дирака с ограниченным спектром: 5/(у - ;о) В качестве их представления используем дискретный ряд Фурье по синусам

2 N

5/(y-.Vo)=- 2sin( >o)sin( y), (5.1)

N 1

л 2 7V/2

5/ = - 2 sin(A2;o) sin( y). (5.1а)

N 1

Таким образом выбор пространственного спектра точечного излучателя тесно связан с неоднородностью среды, заполняющей волновод. Поле в таком волноводе состоит из волн, распространяющихся преимущественно в узком угле (при е = 10 , to = 5°), что соответствует реальному подводному звуковому каналу. Поэтому, используя замену и(х, у) = = v(x, y)exp(ikx), преобразуем УГ (5.1) в ПУГ

+ Vyy + likvx + кеу) и = 0. (5.2)

Опуская член . получаем ПУ

likVx + Vyy + k€ip(y)v = 0. (5.2а)

Вводим сетку с шагом / noynh по х. Переходим к разностному ПУ

2ikLh,x + LlyV + ke{y)v = 0. (5.3)

Действуя методом замороженных коэффициентов, полагаем (у) - ~

= const, где О <Рс 1- Тогда, полагая в (5.3) и - S fl sin( y)cxp(/K x),

приходим к следующему характеристическому уравнению:

(-2k/h)sinKh + ке- (4/l)sm\nl/2) = 0. (5.4)

Уравнение (5.4) имеет вещественные корни /Ci ... /Сдг при условии

2k/h > max(6,4 2). (5.5)

Откуда следует, что решать разностное ПУ (5.3) можно на сетке с любым значением шага /, но при этом должно выполняться неравенство h < 2 Ч. Если взять N = 2ку/7то Ajf = (4/7г)А = lee/yr. Полагая

h = {ke), получаем, что схема (5.3) будет устойчива и решать начальную задачу для нее возможно.

Так как выбор шага h должен удовлетворять не только требованию устойчивости, но и условию, чтобы поле на каждом шаге менялось незначительно, то в качестве начального условия на двух сеточных отрезках д: = 0,д: = Л можно положить

v{Oyy) = biiy -уо\ v{Ky) = 6,(v ->о). (5.6)

Затем можно вычислить значения и(2Л, у), v(3h, у), ... при л: = 2/г, 3/г, ... по трехслойной явной схеме (5.3), т.е. найти их в явном виде во всех узлах сетки, не решая никаких уравнений. Это основное достоинство явных схем. Рассмотрим разностный аналог ПУГ (5.2)

[Ll + 2ikL -н Lly + кеф)]и =0. (5.7)

Действуя методом замороженных коэффициентов, приходим к характеристическому уравнению

4 Kh 2к 4 п1

-- 2~ ~Т ~ Т ~1 * или

%ткН = 6vpc/2 - {2hlkl)s.mnll2 - (l/kh) + (1/А:/г) cos/c/г. (5.9)

Воспользовавшись (1.24) и неравенством (1.26) при О, п = N, N1 = имеем

[2Л/(А:/2) + 1/(А:Л)]2< 1 + {/(кЧ ), (5.10)

Для if с =1, п = 0

(kh€l2-\/(kh)f < 1 + 11(кЧ), (5.11)

Сразу же из (5.11) находим, что шаг h ограничен сверху:

khe < 2vr+7. (5.12)

или при малых €

kh < 21 е. (5.13)

Неравенство (5.10) дает

AkhlikU) + 4/(А:2/2) j 5 14)

или

kh < klyJkllA - 1. (5.15)

Сразу видно, что (5.14) выполняется только при условии kl > 2. Шаг / должен быть ограничен снизу. Раньше это условие бьшо получено при рассмотрении волн в однородном волноводе. Шаг h выбирается так, чтобы (5.12) и (5.15) выполнялись.

Таким образом, при решении начальной задачи для разностного аналога ПУГ шаг сетки по нормальному сечению волновода ограничен снизу. Это обстоятельство является существенным и в ряде случаев может повлиять на точность решения задачи. Тогда для повышения точности приходится использовать другие пути. Можно вводить многоточечную аппроксимацию

производной Vyy на той же самой сетке с шагом /, удовлетворяющим неравенству kl > 2. Можно применять неявную схему Кранка-Никольсона (КН), в которой ограничение шага / снизу нет, а также использовать уточненные ПУ (УПУ). В дальнейшем будут рассмотрены все эти пути повышения точности.

Взяв значение kl > 2 из (5.15), находим диапазон изменения kh или, наоборот, из (5.15) можно найти шаг / при заданном Л, обеспечивающий устойчивость ЯС для ПУГ. Взяв, например, kh - и kl = 2€~\ можно удовлетворить обоим неравенствам (5.13) и (5.15).

6. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ

Было использовано разложение 5/(у - >о)-функции по синусам. При этом предполагалось, что в слабо неодно родном волноводе поле вблизи источника по всей ширине волновода такое, как в однородном волноводе с условием W = О на его границах:

2 N i-

и = - Z sin(ny)sin(nyo)exp(ix\/к - п)- (6.1)

N 1

Легко видеть, что влияние границ волновода на поле при использовании явной схемы на сетке с шагами / и Л скажется только тогда, когда квазихарактеристика , проходящая через источник у = Уо под углом ±7(tg7 = h/l) достигнет одной из границ. Это происходит потому, что для явной схемы возмущение (или поле) от точки (например, > = Уо) распространяется в угловой области -7 < Ф<У - области влияния точки. Напротив, в любую заданную точку приходит возмущение с угловой области -у < ф< у - области зависимости поля в точке. Поэтому с квазихарактеристиками явных схем все обстоит точно так же, как с обычными характеристиками гиперболического уравнения, для которого корректна начальная задача.

Поскольку нас интересует значение поля при х = О, х = h, которые можно в пределах разумной точности считать одинаковыми, то влияние границ на поле локального источника вблизи него вообще не скажется. Поэтому можно воспользоваться таким разложением

5/0->о)= 2 ехр(ш(у-.Уо)), (6.2)

2N -N

а для функции с ограниченным пространственным спектром - рядом

Конечно, ограничение пространственного спектра разностной функции Дирака согласно (6.2а) или формирование характеристики направленности согласно (6.3) приводит к тому, что первоначально локализованный в точке у = Уо источник расштьшается по всему сеточному отрезку х = 0. Происходит это по вполне понятным причинам, связанным с волноводным характером излучения [29]. Волновод - это пространственный фильтр поля. Волны, распространяющиеся не касаясь границ в волноводе на далекие расстояния, можно собрать* в сечение х = О, где они, конечно, не дадут идеального 5-источника, но могут дать пик , выброс . Лзчи, характеристики направленности и другие понятия следуют из некоторых приближенных представлений о свойствах волнового поля. Поле первично, а эти понятия вторичны. Один луч - это одна плоская волна, которая, естественно, не меняет пика в точке излучателя. Задача о максимальной локализации в фазовом пространстве лучей рассматривается в [29].