счет с 2 Л позволяют уменьшить ошибку до величины . Поэтому вполне возможно проводить вычисления с шагом, ограниченным снизу.

Для решения ПУГ в среде с потерями рассмотрим пятиточечную разностную схему повышенной точности с усреднением

+ 2kbi2[%{v{X\h) + v(x-h))-/{v{x2h)v{x-2h))] =0. (2.13)

Приходим к характеристическому уравнению

7з [(2со8/с/г - 2)lh - (k/h)smKh] - 7з [(2cos2/c - 2)/(4Л) -

-ksm2Kh/2h] + ke + ik4[%cosKh- %со$2кН] = 0.

Откуда, приравнивая мнимую часть нулю, 4со8/сЛ = со$2кИ = 2со8/с/г - 1, находим cosKh = 1 ±л/ГТ%, cosKh = 1 - л/. Полагая kh = р, cosKh = = cosip, запишем вещественную часть уравнения (2.14) в виде

Pe+p[-V3sin+V3sin2] + 7з [2 со8(р - 2] - 7б[со82-1] =0. (2.15)

При любом значении (2.15) - квадратное уравнение относительно р. Оно определяет два значения pi и р2, при которых один из корней Л [Л = Qxp(iKh)] характеристического уровня (2.14) по модулю обращается в единицу. Конечно, значений может быть несколько и тогда значений Рг ир2 будет столько же.

Наиболее простой случай, когда в (2.13) член с поглощением заменен на усредненное значение Vi[v(x + Л) + v(x - h)]. Тогда сохкк - cosp - О, cos2(p= -1,8in2(/? = 0,8Ш(/?= ± 1. Из (2.15) находим

рб - 7зР8т-7з = 0. (2.16)

Для 8in(/?= 1 рх2 = 7зе±\/79е +76, p - 7зе, kh> 7зе. Для =

-1 Pi,2 = -V3e±VV9e +7зе; Pi =73e[Vl +7.9е/3.16 - 1} - 78-

При /в <kh < 2/б схема (2.13), в которой последний член заменен на Й [u(jc + Л) + v(x - h)], будет устойчивой.

3. ВОЛНЫ в ОДНОРОДНОМ ВОЛНОВОДЕ

Рассмотрим в полуполосе х>0,0<у < тг краевую задачу для двумерного УГ с постоянным вещественным коэффициентом к:

их + Uyy-ku = О, W I = fiy) = ifl 8in(A2>),

и\у=0,Ши =0, Imk = 5>0, (3.1)

где Ди) - заданная функция, имеющая разложение в бесконечный ряд Фурье по синусам. Находим w(л:, >) тоже в виде ряда Фурье:

и{х,у) = S йпйг\{пу) ехр(рс\/к - (3.2)

Решение состоит из суммы распространяющихся волн (однородных волн с постоянными, не зависящими от х амплитудами), для которых п <к,п затухающих с ростомх неоднородных волн п>к.

Если ввести обозначение п = A:sint и представить sin( y) в виде суммы двух экспонент, то имеем (при > А:, то - мнимая величина)

и{Хуу) = £ [- exp(/A:( >V +/А:(>х) - - ехр(-/А: > + г >л:)] ,(3.3) =1 2/ 2i ух

где = A:cost , ку = A:sint , [А: ] + [А: ] = А: Видно, что решение (3.2) - (3.3) - сумма плоских волн, а каждая распространяющаяся нормальная волна - сумма двух плоских волн, идущих под соответствующим углом к границе волновода.

Условие на бесконечности - принцип предельного поглощения, согласно которому \imu(x, у) = 0,1п\к = 8>0 позволяет исключить из решения как

распространяющиеся в отрицательном направлении оси х волны: ехр(-1ХуУк - п), п < к, так и неоднородные нарастающие волны: Qxp(-ix\/k~-rr), п>к.В аналитическом решении, если его удается найти в виде формулы, это можно сделать, исследуя поведение решения на бесконечности. При численном решении начальной (а не краевой) задачи для эллиптического дифференциального УГ эти неоднородные волны, если их не исключить посредством процедуры регуляризации, наложатся на решение (3.2). Они вырастут до сколь угодно больших величин и полностью испортят искомое решение (3.2). Решение начальной задачи для УГ взрывается , т.е. сколь угодно быстро растет. В таком случае говорят, что начальная задача - некорректно поставленная задача для эллиптического уравнения. Ее надо как-то сделать устойчивой, т.е. регуляризовать. В данном конкретном случае это означает, что необходимо исключить неоднородные нормальные волны, как затухающие, так и нарастающие. Подобные приближения вполне оправданы для волноводных задач. Затухающие волны при достаточно больших значениях х дают малый вклад в решение (3.2), а нарастающие - вообще нежелательны из-за порождаемой ими неустойчивости.

Прежде всего заметим, что индекс суммирования - целое число п, стоящее в решении (3.2) в аргументе sin(A2>) и соответственно под знаком корня в экспоненте - связан простой зависимостью с собственным значением дифференциальной задачи Штурма-Лиувшшя (ШЛ) на отрезке О < 7Г при нулевых условиях на его концах:

5 = ps(y), s(q) = s(n) = 0.

Собственные функции задачи ШЛ (3.3) будут = sin(A2>). Собственные значения - значения параметра р = = -п. Собственных функций и собственных значений бесконечно много: а2 = 1, 2 ... Те из них, для которых п > к, порождают неоднородные волны, последние прибавляются к сумме в (3.2), вызывая неустойчивость начальной задачи.

Перейдем к разностной задаче ШЛ на этом же интервале. Введем сетку с шагом / и числом узлов N: М = п. Имеем

/О) = [X (к + о + <v - о - 2s(y)] If = рЩ(у), Щ) = = 0 0 = /, ...... (N-1)1).

Легко убедиться, что дискретная, разностная задача ШЛ (3.4) имеет те же

самые собственные функции Рп(у) = sin ( у), что и дифференциальная (3.3). Однако собственные значения р будут другими:

P=P = (-4 )sin(A2 2), п = 1,2, ...Ж (3.5)

Имеется соотношение периодичности P2n ~ n-n Благодаря ему число собственных значений в разностной задаче ШЛ ограничено и равно N. Для дискретных значений у = I, 2/, vl имеем sm(ny) = sin(A2v/). Откуда sin [(TV + n)vl] = ± sin(7V- n)vl]. Следовательно линейно-независимых собственных функций тоже всего К

Собственные значения разностного оператора отличаются от собственных значений тех же самых номеров п дифференциального на величину порядка . Это видно из разложения

р(п) = (-4 )sin (nl/2) = (2 )(1 - cosnl) = (-2 )(а2/2 - а2 4! + + ...) = -п + 0(1). (3.6)

Полагая / = tt/Nh n/N = t, имеем fi = -p(n)/N, где

/i =-p/A =(4/7r)sin\i/2)=(t?), 0<t<l. (3.7)

Аппроксимируя вторую производную в (3.4) конечно-разностными аналогами более высокого порядка (пяти-, семи-, девятиточечными), имеем

C/,Ll - ValuM) = PVW. (3.8)

Откуда /2 (t) = Vs) - 7з Си <Р(2). Аналогично находим

/з = Vl о t) - Vl о [/М2д)] + Vl о 1% Ф)],

/4 = VaSt) -V35(V42t)) + V35[V9(3t)- 7з5 - Vi6t)]. (3.9)

Функции /о, /ь /4 представлены на рис. 1.1. Аналогичные соотношения легко получить при аппроксимации первой производной центрированной конечной разностью (1.2).

Таким образом видно, как, не меняя шаг сетки, можно значительно повысить точность аппроксимации производных разностными аналогами. Это обстоятельство является существенным в тех случаях, когда уменьшение шага сетки не только вызывает увеличение объема вычислений, но и вводит в игру собственные функции высоких номеров, соответствующих неоднородным затухающим и нарастающим волнам, что приводит к неустойчивости. На крупной сетке можно сохранить устойчивость. Можно увеличить точность до необходимой величины и, конечно, избежать неоправданно большого роста объема вычислений.

Вернемся к волноводной задаче для уравнения (3.1). Рассмотрим дифференциально-разностное УГ

Uxx + Чу + = О (3-10)

где М = 7Г, = W, V = 0,1, Поскольку по нормальному сечению волновода введена сетка с числом узлов внутри волновода N - 1, то именно в этих узлах и надо задавать функции дискретного аргумента Ду) = f(vl)= = fly. Ее значения можно представить дискретным рядом Фурье по синусам

2; = s sinA2W, = - 2~4sin(vA2/), /= n/N. (3.11)

n=l N v=l