Аппроксимируем его конечно-разностным аналогом

2ikLh,xi +kev = 2ik [v(k + /i) - v{x - h)] I2h + k€v(x) = 0. (1.17)

Схема (1.17) снова трехточечная. Полагая v(x) = ехр(/кх), находим для/с характеристическое уравнение

2ik{e -e-*)l2h-ke = - sin/с/г + ке = 0. (1.18)

Величина к будет вещественной при условии kh е/2 < 1 или

О < h < 2/ке. (1.19)

Неравенство (1.19) по сравнению с (1.5) значительно ослабляет требование на величину шага h в том случае, когда е мало. Рассмотрим разностный анализ ПУГ (1.14) :

LlxV(x)-b2ikLhxV(x)-ev(x) = 0. (L20)

Схема (1.20) тоже трехточечная. Полагая v = ехр(/кдг), приходим к следующему характеристическому уравнению:

(-4/h)sm (2k/h)smKh + ке = 0. (1.21)

Прежде всего заметим, что уравнение

sinz = а + bcosz (1.22)

с вещественным коэффициентом а и b может быть преобразовано к виду - bcosz/VT+F = sin(z - а) = а/\ДТр , (1.23)

sina = b/s/TTV, cosa=(l + b) /\ (1.24)

В (1.23) величина z - а вещественна при условии, что

а < 1 + (1.25)

При этом же условии уравнение (1.22) имеет вещественный корень. Запишем (1.21) в виде

(-2к/Н)$ткН + ке-2/h + (2/h)cosKh = О (1.26)

или в виде (1.22), где

Z = /с/г, a=k€hl2 - l/(kh), b = l/(kh). (1.27)

Неравенство (1.25) имеет вид

кеЧ/А-е-гЦкЧ) < 1 + \1(кЧ)у (1.28)

откуда следует khe<2\/\ +6или

0<h <2s/mi{ke). (1.29)

При малых е условие устойчивости (1.29) для разностной схемы ПУГ практически не отличается от условия устойчивости (119) для схемы ПУ. Аналогичным образом можно рассмотреть пятиточечные схемы повышенной точности для (1.14).

Обратим внимание на ряд обстоятельств. Прежде всего отметим, что как УГ (1.13), так и ПУГ (1.14) имели одни и те же решения в виде прямых и обратных волн, так как при дифференциальном преобразовании ничем не пренебрегалось. Кроме того, и в УГ и в ПУГ можно стремить h к нулю, что позволит из ПУГ получать все решения уравнения Гельмгольца. Нет интереса получать эти решения, когда р(х) = 1 = const. Однако в случае, когда ip(x) - функция ограниченной вариации (О < ip(x) < 1), подход к решению даже одномерного уравнения Гельмгольца вполне оправдан. Отметим также, что переменный коэффициент €ip(x) в разностной схеме можно заменить на нелинейно зависящую от и функцию F (и) ограниченной вариации (например, б(/?(х), \и\) и т.п.). Устойчивость трехточечных разностных схем сохраняется и в этом случае. Наконец, эти трехточечные схемы являются явными схемами при решении начальной задачи, так как значение искомой величины в точке л: + /г может быть явным образом вычислено в зависимости от значения в точках х и х + /г.

2. ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СРЕД С ПОТЕРЯМИ

Рассмотрим среды с потерями, волны в которых описываются У Г с комплексным коэффициентом /5 ф(х):

+ А:2[1 + б(х) + 18ф(х)] и = 0. (2.1)

При замене и = vQxp(ikx) приходим к ПУГ

2ikVx + Mjc) + 1дф(х)\и = 0. (2.2)

При анализе устойчивости разностных схем, действуя методом замороженных коэффициентов, будем считать, что х) = ф(х) = 1 = const. Тогда (х) = e\p(ikxy/l + 6 + /6), волна затухает, а волна w растет с ростом X при 5 > 0. Аналогичные решения (растущее и убывающее) имеет и ПУГ (2.2). Что касается ПУ

likVx + (6 + id)v = О, (2.3)

то оно имеет одно убывающее решение v = exp(ixk(e + ib)/2. Его разностный аналог - трехточечная схема -

2ik [v(x + Л) - Цх - h)] /2h + (е + /5)i;(x) = О (2.4)

приводит к характеристическому уравнению ( А = ехр(гкЛ))

А - Д- -ikhie-ib) = О, (2.5)

которое имеет уже два комплексных корня. Произведение Ai А2 по модулю равно единице и поэтому одно из решений разностного уравнения будет экспоненциально расти. В этом смысле начальная задача для (2.4) неустойчива, т.е. в решении будут присутствовать растущие члены.

Чтобы устранить неустойчивость, возьмем вместо (2.4) следующую схему с усреднением при члене, характеризующем потери:

2ik[v(xVh)-v{x -h)]l2h + бО(х)+ (/:/5/2)lC(x+/г)+ D(x - Л)] =0.

(2.6)

Приходим к такому характеристическому уравнению:

А(1 kbhjl) -\~\\ -k8h/2)-ikh€ = 0. (2.7)

Полагая М = Л(1 + kdh/2), имеем М - - - ikhe = 0. Откуда

Ml,2 = ikh€/2±y/l -кЧЧ/4--кЧ€/4. (2.8)

Следовательно, \ Mi2 \ 1 ри условии kh\/d + < 2. При этом же условии I Л 1 2 I < 1. Схема с усреднениями устойчива при

О < h < 2/(W5 +е). (2.9)

При малых h, пренебрегая в (2.8) величиной kh , находим Л = (ikh/2)(€ + + /5), что приближенно соответствует величине решения дифференциального ПУ для X =h.

Несколько иначе обстоит дело с разностной схемой с усреднением для ПУГ (2.2), описывающем прямые и обратные волны в средах с потерями. Имеем

Ч,х х k€v(x) + к (/5/2) [v(x + /г) + v(x - h)] = 0. (2.10)

Вместо (2.7), полагая v(x) = exp( cx), получим

(2со5/сЛ -2)/h - (2k/h)smKh к€ + кidcosKh = 0. (2.11)

Поскольку мы исследуем задачу на устойчивость, то в первую очередь нас интересует диапазон этой устойчивости, когда ехр ( с/г) = 1. Это возможно только при Kh вещественном. Тогда в (2.11) должно быть cos/c/z = 0; sin/сЛ = ±1. Полагаем sin/c/z = + 1. Тогда -2k/h + ке - 2/h = О, шт keh -- 2/(kh) = 2. Откуда keh > 2, что противоречит (2.9) (при 5=0). Следовательно, при 5 = 1 в область устойчивости мы не попадаем. Положим sin/с/г = = -1. Tormkhe-2/(kh) =-2 или kh = €~ ty/e +2е = €~\\ ±>А~+2€). При знаке + мы опять попадаем в область неустойчивости больших h. khe > 2. Однако при знаке - образуется вторая область неустойчивости для малых h: kh <€~\l - \/l + 2б) - ee = 1, т.е. 0<kh<l. Следовательно, решая ПУГ для сред с потерями по разностной схеме с усреднением и ограничиваясь только одной затухающей волной, нельзя перейти к пределу h О, В области О < kh < I возникает корень (2.11), характеризующий экспоненциально нарастающую волну. Для крупных h можно использовать схемы повышенной точности.

Понятно, что если в УГ (2.1) воспользоваться заменой и = vexp{-ikx), то мы перейдем к ПУГ

- 2ikVx + А: [1 + ер + id\p] и = 0. (2.12)

Разностная схема с усреднением для (2.12) описывает в области I < kh < < ТОЛЬКО одну волну, амплитуда которой экспоненциально убывает с уменьшением координаты х и растет в обратном направлении.

Одномерное уравнение Гельмгольца, ПУГ, ПУ, различные схемы для их численного решения не представляли существенных сложностей. Их легко анализировать как в задачах на устойчивость (если ограничиться простейшими трехточечными схемами), так и при оценке точности аппроксимации. Сравнительно просто сконструировать для этих задач и схемы повышенной точности или осуществить повторный расчет с удвоенным шагом, что позволяет значительно уменьшить объем вычислений. В тех случаях, когда нельзя уменьшить шаг h, схемы повышенной точности или повторный