Глава I

ЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ВОЛНОВОДЕ

Не следует думать, что наличие неявных схем лишает смысл использования схем явных. Простота и компактность последних оказываются во многих случаях чрезвычайно ценными, особенно для сложных нелинейных многомерных задач.

В.Ф, Дьяченко

I, ОДНОМЕРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Простые задачи иногда помогают понять основные свойства более сложных задач. Так бывает и при изучении волновых процессов. Волновое

/

уравнение [А - с )Р = 0 значительно упрощается в одномерном

случае: (~ - с Д-г) = 0. Для гармонической зависимости от

времени t) = w(x)exp(-гсог) оно переходит в одномерное уравнение Гельмгольца (УГ)

иХх) + ки(х) = О, где к = со/с. (1.1)

УГ (1.1) имеет решение в виде прямой и+ = ехр(/А:х) и обратной и = = Qxp(-ikx) волн и их линейной комбинации и = Ciexp{ikx) + C2exp(-ikx). Для вещественного постоянного волнового числа к волны и± имеют постоянные амплитуды Ci и С2. Поэтому начальная задача для (1.1) и(0) = - Ci + С2 = а, и(0) = ik{ci - С2) = Ь, где Ь - заданные величины, не имеет экспоненциально растущих компонент. В этом смысле можно сказать, что она устойчива.

Численное решение задачи требует перехода от непрерывных величин к дискретным. При этом производные заменяются их разностными аналогами [5,47]

2h (1.2)

V ч г2 / ч w(;c+/г) + w(x - Л) - 2w(jc) W W L\xu{x) =---

где h (параметр разностной аппроксимации) - шаг сетки на оси х\ 1,

См. [44]. 34

Lh, x ~~ операторы, соответствующие образованию таких выражений от функщ1И и(х), которые аппроксимируют лервую или вторую производную по X.

Уравнение (1.1)переходит в разностное УГ

(L,;, + A:)w(x) = [а{х\-к)\-Ъ(х-к)-2й(х)]/Н + kU(x) = 0. (1.3)

Это разностное уравнение или разностная схема, как такие уравнения часто называют, является, трехточечным, > поскольку искомая функция й(х) связана в (1.3) в трех точках: х - /г; х, х + Л. Зная и(х) в двух соседних точках, например при х = О, х - h, можно найти й(2/г), u(3h) и т.д., т.е. решить численно начальную задачу для (1.3). Можно решить (1.3) и в аналитическом виде. Воспользовавшись общими правилами для решения линейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными коэффициентами, полагаем и(х) = exp(f/cx). Дпя неизвестной величины к из (1.3) получим следующее характеристическое уравнение:

h~[exp(iKh) + ехр(-г/с/г) - 2] + = О,

cosKh = l (-4 z)sin(/c/z/2) + A: =0.

Нетрудно убедиться, что все записи (1.4) эквивалентны. Определяя к из (1.4), имеем й(х) = Ciexp( cx) + C2exp(-f/cx). Снова получили общее решение в виде суммы прямой и обратной волн. Однако, конечно, к Ф к. Более того, если шаг сетки недостаточно мал, величина h становится комплексной. При kh > 2 имеем \тк Ф 0. Одно из решений ехр (± iKx) начнет экспоненциально расти. Его отличие от ехр(±/А:х) станет столь существенным с увеличением х, что можно говорить о неустойчивости начальной задачи для (1.3) при kh > 2. Чтобы устранить неустойчивость, надо подчинить шаг к неравенству

0< kh <2, (1.5)

Чем меньше /г, тем меньше отличие разностного решения 2 (х) от дифференциального, тем больше узлов сетки на заданном интервале О < х <L. Точность и скорость вычисления находятся, как правило, в обратной зависимости. Однако скорость вычисления очень важна. Поэтому существуют различные пути повышения точности, для которых можно не слишком увеличивать объем вычислений, т.е. не слишком уменьшать к.

Один из путей связан с методом Ричардсона [74, 75]. Метод состоит в проведении вычислений с одинарным и двойным шагами. Поясним его суть. Из (1.4) видно, что к -четная функция от к. Следовательно,

w(x, k) = u(x)hUi(x)hU2(x) +

2(х, 2к) = W(х) + 4/2W1 (х) + l6kU2(X) + ... (1

Откуда

w(x) = 4/3w(x,) - Уз й(х, 2/г) +0(Л). (1.7)

Проделав вычисления с шагом кис шагом 2к и образовав выражение (1.7), будем иметь ошибку порядка /г*, в то время как в каждом из равенств (1.6) ошибка порядка к. Если же продолжить ряды (1.6) и написать ряды для й(х, 3/г), w(x, 4/г), то можно получить такие функции:

и(х) = 735 h) - 2735 2/г) + 7з5 ЗЛ) - Уз5 4h) + (1.8) + 0(Л ).

Для реализации (Г8) требуются величины с шагом /г, 2/г, 3/г, 4/г.

Конечно, точность в (1.3) зависит от точности аппроксимации второй производной согласно (1.2), ЬхЦ(х) = и\х) + hUi (х). Поэтому если точнее аппроксимировать вторую производную, то будем иметь уравнение

Оно является пятиточечным и связывает м(л:) в точках х, x±h, x±2h. Характеристически уравнение имеет вид

2cosK-2 2cos2Kft-2

Из него находим k±0(h), в то время как из (1.4) к = k±0(h). Для анализа устойчивости схемы (1.9), т.е. отсутствия экспоненциально растущих решений уравнения (1.9), запишем (1.10) в виде

7з(2со8/сЛ-2)- Vi2 [(2со8/сЛ) -4] \-кЧ=0. (1.11)

Откуда

IcosKh = S ± у/зГП2кЧ1, (1.12)

Наряду с корнем cos/с/г = 1 - kh} 12 появляются корни, для которых cos/c/г > 1, что может создать неустойчивость начальной задачи для УГ при использовании схемы (1.9). Для преобразованного уравнения Гельмгольца (ПУГ) и для параболического уравнения (ПУ) с устойчивостью схем повышенной точности дело обстоит лучше. Однако в каждом конкретном случае требуется соответствующий анализ.

Рассмотрим одномерное У Г с переменным коэффициентом

и\х)[к\1е{х))]и{х)-0, (1.13)

где 6 > О, О < {х) < 1. Сделаем замену и (х) = v{x) ехр (ikx). Имеем ПУГ

vix) + 2 ikv\x) + ефЩх) = О. (1.14)

Для дальнейшего анализа воспользуемся методом замороженных коэффициентов и положим {х) = 1 = const. Тогда находим точные решения (1.13) и (1.14):

u±Qxp{±ikx\f\T7), = ехр[+ :(\/ТТ7- 1)] . (1.15)

Предполагая, что е мало, О < б < 1, имеем и+ - i; = ехр(/А:б/2). Функция i; удовлетворяет уравнению первого порядка - одномерному ПУ

2ikv{x)Vkev{x) = 0. (1.16)