Волны переносят энергию и информащ1ю. Они обладают такими физическими свойствами, которым можно сопоставить свойства решений дифференциальных уравнений в частных производных - в этом и состоит ма-матическое моделирование. Проблема заключается в том, чтобы извлечь из решения краевых задач для уравнений максимум информации с помощью математических методов и методов численного анализа, а также представить эту информацию наглядно на экране дисплея. Наиболее оптимальным при моделировании является сочетание математических, численных и графических методов, реализуемых на компьютерах с многоцветными экранами высокой четкости высвечивания.

Применение численных методов расширяет класс решаемых задач. Объем информации растет. Это предъявляет более жесткие требования к отбору того материала, который необходим для сравнения с реальным экспериментом и для корректировки волновых моделей. Высокая производительность компьютеров изменила соотношение между вычислениями при использовании теоретических решений в виде формул для волновых задач и численными алгоритмами, схемами, разностными методами, применяемыми непосредственно к исходным уравнениям задач. Конечно, формулы сохранили свое значение как более наглядные средства представления решения простых идеализированных задач. В то же время стало ясно, что в более сложных задачах необходимо использовать всю мощность компьютера и применять универсальные алгоритмы.

Одним из методов построения универсальных алгоритмов является метод замены производных в дифференциальных уравнениях их разностными аналогами. Вводятся параметры разностной аппроксимации. Непрерывные функции аппроксимируются дискретными. Область покрывается сеткой, в узлах которой разыскивается решение дискретной алгебраической задачи. Величины размещаются в памяти ЭВМ. Так реализуется разностный алгоритм. Он состоит из сетки, схемы на сетке, полученной при замене дифференциального уравнения конечно-разностным, и начальных

Левитан К, Случайно ли мы живем Знание - сила. 1969. № 2.

условий, с которых надо начать счет по разностной схеме. Такая разностная дискретная модель физического процесса кажется на первый взгляд вполне адекватной самому процессу и хорошо приспособленной для численного анализа. Необходима только достаточно быстродействующая ЭВМ. Однако после изучения дискретной задачи положение дел не кажется слишком простым. Такая задача всегда сложнее непрерывной, описываемой дифференциальным уравнением. Возникает ряд вопросов, на которые совершенно необходимо ответить прежде, чем ставить дискретную задачу на счет. Будет ли вычислительный процесс устойчив для заданной сетки, схемы, начальных условий? К чему будет сходиться при мельчании сетки, с какой скоростью? Какая точность решения задачи? Насколько процесс эффективен для существующих ЭВМ и может ли он на них быть реализован?

Анализ сходимости процесса очень важен, особенно в общем случае для широкого класса задач. Для него оправданна разработка устойчивых универсальных разностных схем, алгоритмов, численных моделей. Например, если речь идет о сложных волноводных задачах, это разностная аппроксимация уравнений с переменными коэффициентами, введение сетки в волноводах переменного сечения, учет потерь, рассеяния, прямых и обратных волн, различных излучателей широкого диапазона частот, длинных трасс и т.п. Все перечисленные модификации волновых задач должны укладываться в область сходимости разработанного разностного алгоритма. Моделирование, вычислительный эксперимент должны обладать такими же потенциальными возможностями, как реальный эксперимент.

Проведение волнового эксперимента в естественных условиях стоит дорого, особенно при изучении полей звуковых волн в океане. Поэтому особое значение имеет численный эксперимент, поставленный в контролируемых условиях при полной повторяемости входных и выходных данных, при любой практически необходимой точности, в любых модификациях параметров задачи. С таким численным экспериментом может сопоставляться только полная теория, которая сама ничем не пренебрегает, что, вообще говоря, невозможно. Решение в виде формул, даже приближенных, асимптотических, получить не всегда удается. В то же время компьютер может эффективно решать разностное уравнение, описывающее волновой процесс для широкого класса задач. Введение сетки не портит физику распространения волн несмотря на то, что среда становится дискретной. В аэродинамике, физике плазмы, теории элементарных частиц ЭВМ успешно решает разностные нелинейные уравнения, более сложные, чем уравнение Гельмгольца или волновое уравнение, описывающее поля в волноводах Распространение волн в волноводе - это в основном линейный процесс Поля описываются комплексными величинами в бесконечных областях Здесь тоже есть свои особенности и трудности. Они существенно возрас тают тогда, когда это природные волноводы огромных размеров, запол ненные неоднородными средами, такие, как, например, подводный звуко вой канал в океане. Число узлов сетки в таком волноводе очень велико Поэтому, заменяя производные конечными разностями, приходится рассматривать алгебраические системы высокого порядка, чтобы затем решить на ЭВМ разностный аналог уравнения Гельмгольца или волнового уравнения. Все же применение МКР в волноводных задачах оправдывает себя. Вместо многих методов, используемых при поиске слож-8

iibLX формул И формульных алгоритмов, делается немногое: осуществляется выбор сетки, производится замена производных разностями, начинается счет с некоторых начальных величин. Реализуется самое важное свойство МКР - единый подход к широкому классу задач.

Выбор сетки и разностной схемы является необходимым, но не достаточным условием для численного решения задачи. Не менее важно, чтобы схема была доступна для работы на современных ЭВМ, Не только быстродействие ЭВМ определяет класс задач, но и универсальность, гибкость алгоритма. Приходится идти и на снижение точности, на ограничение класса задач. Главное внимание приходится уделять разработке более эффективных алгоритмов, чтобы не превратиться в спещ1алиста, пассивно ожидающего ЭВМ 5-го и 6-го поколений в XXI в.: Разрыв между нарастающей сложностью решаемых задач и мощностью ЭВМ - объективная и долговременная ситуащ1я. Еще долго практика будет ставить перед нами проблемы, решение которых потребует более совершенных машин, чем у нас есть. Из этой ситуации два выхода: чисто технический, заключающийся в том, чтобы концентрировать вычислительные мощности, и интеллектуальный. Суть его - в создании алгоритмов, а также численных методов, позволяющих решать нужные задачи с наличным машинным парком. Мне кажется более прогрессивным второй путь. Немало примеров, когда очень сложные задачи были решены на относительно маломощных ЭВМ .

Вычисления на ЭВМ вносят неизбежную погрешность. Но это не столь важно, так как погоня за точностью не всегда бывает оправданна. Часто бывает так, что, чем точнее становится теория в рамках принятой концепции, тем более очевидно ее расхождение с фактами. Например, для волновых задач приближением является идеально-слоистая среда волновода, идеальный гармонический сигнал, ровное слоистое дно в океане и ровная невзволнованная поверхность, полная информация о всех точках волновода в любой момент времени и т.п. Не учитьшая всех характерных особенностей реальной задачи, можно получить ошибочный результат даже с 15 знаками . Чтобы этого не было, необходимы своевременная смена научных концепций, разработки радикально новых теорий, математическое и численное моделирование в условиях наиболее близких к реальным. Становится необходимым не просто улучшать и усложнять прежние формулы, а принципиально изменять подход, переходя от чрезмерной, иногда парализующей всякий анализ (даже численный) сложности теоретических формул к простоте, ясности и своеобразной красоте алгоритмических решений, которые берут в основу простоту и красоту исходных уравнений математической физики.

2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

В настоящее время даже минимальные требования гидроакустики вьппе максимальных возможностей МНВ и ЛМ. Оба метода наиболее пригодны для слоистых сред. Однако в реальном океане на профиль скорости звука всегда накладываются небольшие возмущения, переменные по трассе. Приходится считаться с отсутствием достаточно протяженных, зеркально отражающих границ: дно и поверхность океана всегда неровные. Среда перестает быть слоистой.. Поэтому повьпыение точности и контроль ошибки в рам-

Самарский А, Компьютер, вопрошающий природу Наука в СССР. 1987. № 3. С. 45.