прямой, проходящей через точку /, с дугой, описанной из центра О], находится одна из точек циклоиды; на пересечении прямой, проходящей через точку 2, с дугой, проведенной из центра О2, находится другая точка циклоиды и т. д.

Прямая М7, соединяющая точку М с точкой 7 касания перекатываемой окружности к направляющей АА, является

1г3156789 {0П AAr2nR

Рис. III.52. Построение циклоиды

Г2А,

нормалью циклоиды в данной точке; перпендикуляр к М7- касапгелыюй. Длина дуги циклоиды AM А] - 8/?; площадь, ограниченная циклоидой и прямой AAi, равняется 3rt/?2.

Построение эпициклоиды и гипоциклоиды (рис. III.53). Эпициклоиду и ГИПОЦИ1ШОИДУ можно рассматривать как частные случаи циклоиды, когда направляющая прямая AAi превращается в дугу окружности. При перекатывании производящей окружности радиуса г с внешней стороны направляющей окружности радиуса R получается эпициклоида (рис. 111.53, а), при перекатьюании производящей окружности внутри направляющей - гипоциклоида (рис. 111.53,6). Длина дуги АА определяется центральным углом а = 360 ° rjR.

Построеьше точек эпициклоиды и гипоциклоиды производится так же, как для циклоиды, с той лишь разницей, что все прямые, параллельные линии AAi, заменяются концентрическими дугами, а перпендикуляры к линии AAi - радиусами. Эпициклоида, получающаяся при R = r, называется кардиоидой. Гипоциклоида, получающаяся при R - Аг, называется астроидой. При R = 2r гипоциклоида превращается в прямую, являющуюся диаметром направляющей окружности.

oc=j 360

Рис. 111.53. Построение: о - эпициклоиды; б - гипоциклоиды

111.6. ПОСТРОЕНИЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

Деление отрезка в крайнем и среднем отношениях. На рис. П1.54 отрезок АВ разделен в заданном отношении т/п внутренним и внешним образом; точка С делит отрезок АВ в отношении т/п внутренним образом {АС/ВС = т/п); точка D делит его в том же отношении внешним образом {AD/BD = т/п). Для нахождения точки С проводят через

точки А п В две параллельные прямые и откладывают на них заданные величины ш и и по разные стороны от прямой АВ; для построения точки D откладывают тип по одну сторону от прямой АВ. Затем соединяют концы отрезков тип прямой KL или ML. Точки С и D называются гармонически сопряженными относительно точек А

Рис. 1П.54. Деление отрезка в заданном отношении

Рис. 111.55. Деление отрезка в крайнем и среднем отношениях

и В. Говорят также: точки С и Z) делят гармонически отрезок АВ (и наоборот, точки А vi В делят гармонически отрезок CD).

Деление отрезка в крайнем и среднем отношениях ( золотое сечение отрезка). Требуется разделить отрезок АВ (рис. 1П.55) на такие две части АС vi СВ, чтобы большая из них являлась средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей частью: АВ: АС = АС: СВ.

Строят прямоугольный треугольник ABD с катетом BD = = АВ/2. Откладывают на гипотенузе отрезок DE = BD, тогда отрезок АЕ дает искомую длину большей части отрезка АВ. Отложив ее на стороне АВ, получают точку С, которая И делит отрезок АВ в крайнем и среднем отношениях. Если разделить таким образом радиус окружности, то большая часть радиуса будет равна стороне правильного вписанного десятиугольника и может быть использована для деления окружности на пять или десять равных частей (см. рис. 1П.28).

III.7. СПРЯМЛЕНИЕ КРИВЫХ

Спрямление кривой случайного вида (рис. Ш.56). Длина кривой АВ определяется приближенно путем замены небольших отрезков данной кривой прямыми. Для уменьшения ошибки