строения некоторых многоугольников с помощью рейсщины и угольников (без предварительного деления окружности на равные части), когда заданы диаметр описанной или вписанной окружности либо сторона многоугольника. Построения ясны из чертежа. Правильный пятиугольник не может быть построен с помощью указанных принадлежностей. Построение его по заданной стороне приводится ниже.

Построение правильного пятиугольника по заданной стороне (рис. Ш.ЗЗ). Пусть АВ - заданная сторона пятиугольника -

равна а. Восставим из точки В перпендикуляр к АВ к отложим на нем отрезок ВС = а/2. Точку С соединим с точкой А. На прямой А С отложим отрезок DC=ВС=а/2; затем на продолжении линии АВ отложим отрезок ЕА = AD. Тогда BE равняется длине диагонали пятиугольника. Для построения верщин описываем из центров АиВ дуги радиусами, равными А В и BE; на их пересечении находим точки F, G и Н.

Рис. III.33. Построение правильного пятиугольника по заданной стороне

I1I.5. ПОСТРОЕНИЕ ЦИРКУЛЬНЫХ И ЛЕКАЛЬНЫХ КРИВЫХ

Построение овала по двум его осям АВ и CD (рис. Ш.34).

Построение овала, который с достаточной для практических целей точностью можно принять при небольших размерах осей за эллипс, производится дугами окружностей из центров Oj, О2, о3 и о4. Для нахождения центров О, и откладывают на малой оси отрезок ОЕ = OA, т. е. длину большой полуоси. Разность полуосей, т. е. отрезок СЕ, откладывают от точки С на прямой АС, соединяющей концы данных осей; далее из середины отрезка AEi восставляют перпендикуляр, пересечение которого с данными осями определяет центры 0 и О2- Два других центра о3 и о4 находятся как точки, симметричные Oi и О2. Дуги КАК и NBNi проводятся из центров d и о3 радиусом ОА, дуги KCN и KiDNi - из центров О2 и о4 радиусом О2С.

Касательные к овалу в заданной точке проводятся перпендикулярно к радиусу, соединяющему данную точку с соответствующим центром.

Построение эллипса по двум его осям. Первый способ (рис. III.35). На данных осях эллипса АВ и CD строят как на диаметрах две концентрические окружности. Одну из них

Рис. 111.34. Построение овала

Рис. 111.35. Построение эллипса по заданным осям

делят на несколько равных или неравных частей. Через точки деления и центр эллипса проводятся радиусы, которые делят также вторую окружность. Затем через точки деления большой окружности проводят прямые, параллельные линии CD, и через точки деления малой окружности - прямые, параллельные линии АВ. Точки пересечения соответствующих прямых и будут точками, принадлежащими эллипсу. Для получения очертания эллипса все найденные точки и концы осей соединяют от руки плавной кривой, которая обводится затем по лекалу.

Второй способ. Построение эллипса с помощью треугольного ключа пропорциональности показано на рис. III.36. На большой оси эллипса как на диаметре строят вспомогательную полуокружность. На каком-либо перпендикуляре AM к продолжению большой оси эллипса откладывают отрезки, равные полуосям эллипса: АМ= - а и NM=b. Точки А и N соединяют пря- jjj 3 Построение эллипса с по-

мыми с точщи F, про- мощью треугольного ключа пропорцио-извольно выбранной на нальности

продолжении большой оси. Далее намечают на вспомогательной окружности ряд точек 1, 2, ... и опускают из них перпендикуляры на ось. Каждую из отмеченных точек сносят по горизонтали на прямую АР, откуда опускают перпендикуляры на прямую NP, а отсюда снова проводят горизонтали до пересечения с перпендикуляром, опущенным из соответствующей точки окружности. На пересечении находятся точки эллипса. Точки других четвертей эллипса строятся как симметричные относительно осей.

Некоторое преимущество этого способа состоит в том, что все вспомогательные построения могут быть вынесены за контур эллипса, но он менее точен, чем первый способ.

Для нахождения фокусов эллипса и F2 (рис. III.35) надо, приняв один из концов малой оси за центр, засечь большую ось дугой, радиус которой равен половине большой оси.

Построение эллипса по данным сопряженным диаметрам.

Два диаметра эллипса называют сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Первый способ (рис. III.37). На данных сопряженных диаметрах MN и KL строят параллелограмм, проведя через

концы каждого диаметра прямые, параллельные другому диаметру. Делят на несколько равных частей один из диаметров (например, MN) и стороны параллелограмма, параллельные другому диаметру, нумеруя их, как показано на чертеже. Проводя из точек КтлЬ лучи через точки деления, получают в пересечении одноименных лучей точки эллипса. Второй способ (рис. III.38). При построении небольших эллипсов достаточно найти восемь точек эллипса. Четыре точки М, N, L, К лежат на концах данных диаметров. Для нахождения еще четырех точек строят на диаметрах параллелограмм и проводят в нем диагонали. В точках Е и К проводят две вспомогательные прямые EF и KF под углом 45 ° к линии ЕК до взаимного пересечения. Затем

Рис. III.37. Построение эллипса ло сопряженным диаметрам